作业帮一般式方程的法向量和方向向量
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 19:23:06
一般式方程的法向量和方向向量
例题："已知点l经过点P（1,2）,且垂直于直线l0:x-3y-5=0,求直线l的方程.
因为直线l垂直于直线l0,所以直线l0的一个方向向量d=(3,1).是直线l的一个法向量····"
课本上说,直线的一般式方程ax+by+c=0,其中的法向量n=(a,b)；方向向量d=(b,-a).可是为什么例题中的方向向量,1是正数呢?
同问：课本上有个方框问题“请解释为什么d=(b,-a)是直线l的一个方向向量”.
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例题："已知点l经过点P（1,2）,且垂直于直线l0:x-3y-5=0,求直线l的方程.
因为直线l垂直于直线l0,所以直线l0的一个方向向量d=(3,1).是直线l的一个法向量····"
课本上说,直线的一般式方程ax+by+c=0,其中的法向量n=(a,b)；方向向量d=(b,-a).可是为什么例题中的方向向量,1是正数呢?
同问：课本上有个方框问题“请解释为什么d=(b,-a)是直线l的一个方向向量”.
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就以高中生能理解的方式给你讲吧
第一个问题：为什么例题中的方向向量,1是正数呢?
答：你注意到了1是正数,却没有注意到3也是正数.按照你们课本上的“方向向量d=(b,-a).”可知l0的一个方向向量应该是d=(-3,-1).
那么向量（-3,-1）和向量（3,1）有什么关系呢?答案是它们同在一条直线上,但是方向相反.所以向量（-3,-1）和向量（3,1）都是直线l0的方向向量,用哪个都可以.（这也说明了为什么课本里老是说“……的一个方向向量”,即直线的方向向量和法向量是有很多个的,不唯一.）
第二个问题：请解释为什么d=(b,-a)是直线l的一个方向向量
答：你们课本上是怎么证明的我不知道,下面的是我自己想的证明：
首先,直线ax+by+c=0与直线ax+by=0平行
在直线ax+by=0上取一点（b,-a）,则向量（b,-a）与直线ax+by=0共线
所以向量（b,-a）是直线ax+by=0的一个方向向量
而直线ax+by+c=0与直线ax+by=0平行
所以向量（b,-a）是直线ax+by+c=0的一个方向向量
第一个问题：为什么例题中的方向向量,1是正数呢?
答：你注意到了1是正数,却没有注意到3也是正数.按照你们课本上的“方向向量d=(b,-a).”可知l0的一个方向向量应该是d=(-3,-1).
那么向量（-3,-1）和向量（3,1）有什么关系呢?答案是它们同在一条直线上,但是方向相反.所以向量（-3,-1）和向量（3,1）都是直线l0的方向向量,用哪个都可以.（这也说明了为什么课本里老是说“……的一个方向向量”,即直线的方向向量和法向量是有很多个的,不唯一.）
第二个问题：请解释为什么d=(b,-a)是直线l的一个方向向量
答：你们课本上是怎么证明的我不知道,下面的是我自己想的证明：
首先,直线ax+by+c=0与直线ax+by=0平行
在直线ax+by=0上取一点（b,-a）,则向量（b,-a）与直线ax+by=0共线
所以向量（b,-a）是直线ax+by=0的一个方向向量
而直线ax+by+c=0与直线ax+by=0平行
所以向量（b,-a）是直线ax+by+c=0的一个方向向量