数列与不等式证明1题设n为给定的正整数,数列a(0),a(1),...,a(n)定义为a(0)=0.5,a(k)=a(k

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 05:54:59

数列与不等式证明1题
设n为给定的正整数,数列a(0),a(1),...,a(n)定义为a(0)=0.5,a(k)=a(k-1)+a(k-1)^2/n,k=1,2,...,n.证明1-1/n
我适当的缩放了下，基本缩放都不行，
因为当n→∞时，a（n）基本上就等于1（应该是1_）
可是用数学归纳法又找不到an与a（n-1）的具体等值关系
目前实在是没辙了啊
可是明明记得很久很久以前做过这题，用的好像就是不等式的范围缩放（目前基本上可以得出0.5(1+1/2n)^n

先说明,以下涉及的K都是0到n-1的整数.由已知条件知an＞a(n-1)＞...＞a1＞a0,于是a(k+1)=ak+1/n*ak^2＜ak+1/n*ak*a(k+1),1/ak-1/a(k+1)＜1/n.所以（1/a0-1/an)=∑（1/ak-1/a(k+1)＜∑1/n（∑上面是n-1,下面是k=0）=1,即1/an＞1/a0-1=1,所以an＜1.
另一方面,由ak＜1有a(k+1)=ak+1/n*ak^2＜ak+1/n*ak=(n+1)/n*ak,即ak＞n/(n+1）a(k+1),故a(k+1)=ak+1/n*ak^2＞ak+1/n*ak*n/(n+1)*a(k+1)=ak+1/n*ak*a(k+1),即1/ak-1/a(k+1）＞1/(n+1),所以1/ao-1/a(k+1)＞1/(n+1）,所以1/ao-1/an=∑(1/ak-1/a(k+1))＞∑（1/(n+1))=n/(n+1).
因此1/an＜1/ao-n/(n+1)=2-n/(n+1)=(n+2)/(n+1),故an＞(n+1)/(n+2）=1-1/(n+2)＞1-1/n.证毕.
解此题的关键是将递推式中的ak的缩放.这是一道竞赛例题.

数列与不等式证明1题设n为给定的正整数,数列a(0),a(1),...,a(n)定义为a(0)=0.5,a(k)=a(k 设A为n阶方阵,对其正整数k>1,A^k=0,证明：（E-A）^(-1)=E+A+A^2+,+A^(k-1) a,b,k为大于2的正整数a^k mod (k+1)=n;b^k mod (k+1)=m; 证明 n*m mod (k+ 矩阵A是元全为1的n阶矩阵(n>=2),证明A^k=n^k-1A(k是》2为正整数) 如何证明(n^k)/(a^n)在n趋于无穷时极限为0（k为正整数,a>1）设A为N阶方阵,满足A^K=0,证明E-A可逆,并且(E-A)^-1=E+A+A^2+...+A^K-1 用数列极限的定义证明,Xn的极限为a,则对任1正整数k,Xn＋k的极限为a 设矩阵A^k=0矩阵(k为正整数),证明(E-A)^(-1)=E+A+A^2+...+A^(k-1) 已知定义在正整数上的函数f(x)={n,(n属于N,n=2k减1),f(n/2),(n属于N,n=2k)' 数列{a小n 证明向量组线性无关设A是n阶方针,若存在n维列向量a和正整数k,使得A^k*a=0,A^(k-1)*a!=0,证明：向量已知数列{an}的前n项和Sn=2n^2+pn,a7=11,a(k)+a(k+1)>12,求正整数k的最小值线性代数一个证明题设A^k=o (k为正整数）,证明：（E-A)^-1=E+A+A^2+……+A^k-1