设u=u(x,y)有二阶连续偏导数,证明在极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ下有

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 02:03:20

设u=u(x,y)有二阶连续偏导数,证明在极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ下有
∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=∂^2u/∂r^2+1/r(∂u/∂r)+(1/r^2)(∂^2u/∂θ^2)

∂u/∂r = ∂u/∂x * ∂x/∂r + ∂u/∂y * ∂y/∂r = ∂u/∂x * cosθ + ∂u/∂y * sinθ (1)
∂u/∂θ = ∂u/∂x * ∂x/∂θ + ∂u/∂y * ∂y/∂θ = ∂u/∂x * (-r sinθ) + ∂u/∂y * (r cosθ)
∂²u/∂r² = ∂(∂u/∂x * cosθ + ∂u/∂y * sinθ)/∂r
= cosθ *[ ∂²u/∂x² * cosθ +∂²u/∂x∂y * sinθ ] + sinθ *[ ∂²u/∂y∂x * cosθ + ∂²u/∂y² * sinθ ]
= ∂²u/∂x² * (cosθ)² + sin2θ * ∂²u/∂x∂y + ∂²u/∂y² * (sinθ)² (2)
∂²u/∂θ² = ∂[ ∂u/∂x * (-r sinθ) + ∂u/∂y * (r cosθ) ] / ∂θ
=(-r sinθ)*[ ∂²u/∂x² *(-r sinθ) +∂²u/∂x∂y * r cosθ] + r cosθ *[∂²u/∂y∂x * (-r sinθ) + ∂²u/∂y² * r cosθ]
+ ∂u/∂x * (-r cosθ) + ∂u/∂y * ( - r sinθ)
= ∂²u/∂x² * (r sinθ)² - r² sin2θ * ∂²u/∂x∂y + ∂²u/∂y² * (r cosθ)² - r * ∂u/∂r (3)
(2)+ (1/r²)* (3) + (1/r) * (1) = .= ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²
再问： ∂2u/∂r2 = ∂(∂u/∂x * cosθ + ∂u/∂y * sinθ)/∂r 这步到下面是怎么来的呀？ = cosθ *[ ∂2u/∂x2 * cosθ +∂2u/∂x∂y * sinθ ] + sinθ *[ ∂2u/∂y∂x * cosθ + ∂2u/∂y2 * sinθ ]
再答： ∂(∂u/∂x)/∂r = ∂²u/∂x² * ∂x/∂r + ∂²u/∂x∂y * ∂y/∂r ∂(∂u/∂y)/∂r = ∂²u/∂y∂x * ∂x/∂r + ∂²u/∂y² * ∂y/∂r 二元复合函数的高阶偏导数，相当复杂。
再问：在考研的辅导书上面的例题，看的我都迷糊了，请问您知不知道哪个教材上面有讲解这种问题的？
再答：我这是从右向左证明，实际上就是让你求几个复合函数的高阶偏导数，在组合起来。或者称之为微分方程的坐标变换。同济六版的教材，下册P80-P81，它是从左向右证明。

设u=u(x,y)有二阶连续偏导数,证明在极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ下有设z=(x^2)y-x(y^2),而x=rcosθ,y=rsinθ,求r的偏导数和θ的偏导数在极坐标交换,x=rcosθ,y=rsinθ下,偏f/偏r=(偏f/偏x)cosθ+(偏f/偏y)sinθ=(1/r)[ 在直角坐标系中,x=a+rcosθ‘y=b+rsinθ 多元隐函数求导设函数x=x（u,v）,y=y(u,v)在点（u,v）的某一邻域内连续且有连续偏导数,又e(x,y)/e( 极坐标方程问题x = rcos(θ),y = rsin(θ),这两条公式是怎么推导出来的,麻烦给我一个详细的推导过程, 设函数F(u,v,w)有连续的偏导数,证明曲面F(y/x,z/y,x/z)=0上各点的切平面都交于一点,并求出交点坐标. 设u=f(x,x/y),其中f具有二阶连续偏导数,求u对x的二阶连续偏导数, 设f具有一阶连续偏导数,求u = f（xy,x+y）的偏导数∂u/∂x,∂u/ 设函数u=f(x,y,z)具有连续偏导数圆x=r+rcosθ y=r/2+rsinθ {θ为参数,r>0}的直径为4 则愿新的坐标是要求步骤设函数f(u,v)具有两阶连续偏导数z=f(x^y ,y^x),求dz