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来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/25 10:42:32
已知函数f（x）=ax3+bx2在x=-1时取得极值，曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为12；函数g（x）=f（x）+mx，x∈[1，+∞），函数g（x）的导函数g'（x）的最小值为0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数m的值；
（Ⅲ） 求证：g（x）≥-7．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数m的值；
（Ⅲ） 求证：g（x）≥-7．
（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2，
∴f'（x）=3ax2+2bx．
由题意有
f′(−1)＝3a−2b＝0
f′(1)＝3a+2b＝12，
解得
a＝2
b＝3．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2x3+3x2．
（Ⅱ）g（x）=f（x）+mx=2x3+3x2+mx，x∈[1，+∞），
g′(x)＝6x2+6x+m＝6(x+
1
2)2−
3
2+m在[1，+∞）单调递增
∴[g'（x）]min=g'（1）=12+m=0，
∴m=-12．
（Ⅲ）g（x）=2x3+3x2-12x，x∈[1，+∞），
由（Ⅱ）知，当x=1时，g'（x）=0，
当x＞1时，g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函数．
∴g（x）≥g（1）=2+3-12=-7．
∴f'（x）=3ax2+2bx．
由题意有
f′(−1)＝3a−2b＝0
f′(1)＝3a+2b＝12，
解得
a＝2
b＝3．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2x3+3x2．
（Ⅱ）g（x）=f（x）+mx=2x3+3x2+mx，x∈[1，+∞），
g′(x)＝6x2+6x+m＝6(x+
1
2)2−
3
2+m在[1，+∞）单调递增
∴[g'（x）]min=g'（1）=12+m=0，
∴m=-12．
（Ⅲ）g（x）=2x3+3x2-12x，x∈[1，+∞），
由（Ⅱ）知，当x=1时，g'（x）=0，
当x＞1时，g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函数．
∴g（x）≥g（1）=2+3-12=-7．
已知函数f（x）=ax3+bx2在x=-1时取得极值，曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为12；函数g（x）=f（x
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3,
已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值,过点A(0,16)做曲线y=f(x)的切线,求切线方程
已知R上的函数f(x)=1/3ax3+1/2bx2+cx在x=1时取得最值,且y=f(x)图像上有一点处得切线斜率为-a
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a、b、c为常数），f（x）在x=-1处有极值，曲线y=f（x）在点（3，-24
已知函数f(x)＝x3+ax2+bx+5，若x＝23时，y＝f(x)有极值，且曲线y=f（x）在点f（1）处的切线斜率为
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d,且函数f（x）的图像关于原点对称,其图像在x=3处的切线的方程为8x-y-1
已知函数f（x）＝ax3次方＋bx2次方＋cx在x＝正负1处确定极值,且在x＝0处的切线斜率为负3,（1）求f（x）
已知函数f（x）＝ax³＋bx²在x＝－1时取得极值,曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为12；
设函数f（x）=x2ex-1+ax3+bx2，已知x=-2和x=1为f（x）的极值点．
设函数f(x)=ax2+bx+k(k>0)在x=0处取得极值,且曲线y=f(x)在点（1,f(x)）处的切线垂直于直线x
已知函数f（x）=x3+bx2+cx+2在x=1处取得极值-1．