已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是减函数.若方程f

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 18:50:11

已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是减函数.若方程f（x）=k在区间[-8，8]上有四个不同的根，则这四根之和为（　　）
A. ±4
B. ±8
C. ±6
D. ±2

∵f（-x）=-f（x），

∴f（x）为奇函数，
∵f（x-4）=-f（x），即f（x+8）=f（x），
∴f（x）是周期为8的周期函数，
根据f（-x）=-f（x），f（x-4）=-f（x），可得f（x-4）=f（-x），
∴f（x）关于直线x=-2对称，
又根据题意知，f（x）在[0，2]上为减函数，
结合以上条画出函数的示意图，由图看出，
①当k＞0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-2）=-4，
另两个交点的横坐标之和为2×6=12，所以四根之和为8；
②当k＜0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-6）=-12，
另两个交点的横坐标之和为2×2=4，所以四根之和为-8；
综合①②可得，四根之和为±8．
故选B．