求函数的渐近线:∫e^(-t^2)dt,积分上下限是,从0到x

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 09:47:17

求函数的渐近线:∫e^(-t^2)dt,积分上下限是,从0到x
请说下过程.我知道答案就是不知道怎么来的.
答案是y=+√π/2,或-√π/2，想知道怎么来的。

渐近线有三种
1、水平渐近线
若x趋于正无穷或负无穷时,f(x)趋于常数c,则y=c 为f(x)的水平渐近线
2、垂直渐近线
若x趋于某值c时,f(x)趋于无穷,则x=c为f(x)的垂直渐近线,
实际上x=c就是f(x)的无穷间断点
3、斜渐近线
若x趋于无穷时,f(x) / x趋于a,且f(x)-ax趋于b,
则y=ax+b是f(x)的斜渐近线
要注意a=0时,实际上斜渐近线就等于水平渐近线了啊（y=b）
所以同一函数的水平渐近线和斜渐近线最多只有两条
很显然在这里x趋于某常数的时候,
∫[上限x,下限0] e^(-t²)dt不会趋于无穷,即不存在垂直渐近线
于是要来求x趋于无穷的时候,∫[上限x,下限0] e^(-t²)dt的值
而要注意 ∫e^(-t²)dt是一个反常积分,想直接通过一次积分把算出来是不行的
显然
∫ [上限+∞,下限0] e^(-t²)dt * ∫[上限+∞,下限0] e^(-t²)dt
= ∫[上限+∞,下限0] e^(-x²)dx * ∫[上限+∞,下限0] e^(-y²)dy
这时候用极坐标来解,
令x=r *cosθ,y=r *sinθ
r可以取0到+∞,而θ处于第一象限,即0到π/2
则
∫ [上限+∞,下限0] e^(-x²)dx * ∫[上限+∞,下限0] e^(-y²)dy
=∫ [上限+∞,下限0] r *e^(-r²) dr * ∫[上限π/2,下限0] dθ
显然∫[上限π/2,下限0] dθ=π/2,
而
∫ [上限+∞,下限0] r *e^(-r²) dr
= ∫ [上限+∞,下限0] 0.5e^(-r²) d(r²)
= -0.5e^(-r²) [代入上限∞,下限0]
=0.5
故
∫ [上限+∞,下限0] e^(-t²)dt * ∫ [上限+∞,下限0] e^(-t²)dt= π/4,
即
∫ [上限+∞,下限0] e^(-t²)dt = √π /2,
而在上限为-∞的时候,
∫ [上限 -∞,下限0] e^(-t²)dt = -√π /2
于是函数的渐近线为：
y=+√π/2或-√π/2

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