已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥6 3,并确定a,b,c为何值时,等号成立.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 02:24:52
已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥6 3,并确定a,b,c为何值时,等号成立.
证明:
(证法一)
因为a,b,c均为正数,由平均值不等式得 {a2+b2+c2≥3(abc)231a+1b+1c≥3(abc)-13①
所以 (1a+1b+1c)2≥9(abc)-23②(
故 a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥3(abc)23+9(abc)-23.
又 3(abc)23+9(abc)-23≥227=63③
所以原不等式成立
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当 3(abc)23=9(abc)-23时,③式等号成立.
即当且仅当a=b=c= 314时,原式等号成立.
(证法二)
因为a,b,c均为正数,由基本不等式得 {a2+b2≥2abb2+c2≥2bcc2+a2≥2ac
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①
同理 1a2+1b2+1c2≥1ab+1bc+1ac②
故 a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2③
≥ab+bc+ac+31ab+31bc+31ac
≥63所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.
即当且仅当a=b=c= 314时,原式等号成立
(证法一)
因为a,b,c均为正数,由平均值不等式得 {a2+b2+c2≥3(abc)231a+1b+1c≥3(abc)-13①
所以 (1a+1b+1c)2≥9(abc)-23②(
故 a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥3(abc)23+9(abc)-23.
又 3(abc)23+9(abc)-23≥227=63③
所以原不等式成立
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当 3(abc)23=9(abc)-23时,③式等号成立.
即当且仅当a=b=c= 314时,原式等号成立.
(证法二)
因为a,b,c均为正数,由基本不等式得 {a2+b2≥2abb2+c2≥2bcc2+a2≥2ac
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①
同理 1a2+1b2+1c2≥1ab+1bc+1ac②
故 a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2③
≥ab+bc+ac+31ab+31bc+31ac
≥63所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.
即当且仅当a=b=c= 314时,原式等号成立
已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥6 3,并确定a,b,c为何值时,等号成立.
已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+( 1 a + 1 b + 1 c )2≥6 根号3 ,并确定a,b,c
已知a,b,c都是正数,证明:a2+b2+c2+(1/a+1/b+1/c)2大于等于6倍根3,并确定a,b,c为何值时,
已知A,B,C均为正数,证明a平方+b平方+c平方+(1/a+1/b+1/c)平方≥6倍根号3,并确定a,b,c为何值时
已知abc均为正数,求证a2+b2+c2+(1/a+1/b+1/c)2>=6根号3
1,已知a,b,c属于正数,求证:a2/b+b2/c+c2/a≥a+b+c.
已知a,b,c为正数 ab=1,a2+b2+c2=9,求a+b+c的最大值
已知三个正数a,b,c满足a2,b2,c2成等差数列,求证1a+b
a2+b2+c2+(1/a+1/b+1/c)2≥6√3怎么证明?
已知abc为正数,求证根号a2+b2+根号b2+c2+根号c2+a2大于根号2(a+b+c)
已知a,b,c,为正数,求证:根号下a2+b2 +根号下b2+c2 + 根号下c2+a2 大于等于 根号2(a+b+c)
已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).