作业帮这个题用向量法怎么做?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 16:40:37
这个题用向量法怎么做?
如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,AD=2BC=2CD=2,侧面APD为等腰直角三角形,PA⊥PD,平面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PC上不同于端点的一点.证明PA⊥DE
如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,AD=2BC=2CD=2,侧面APD为等腰直角三角形,PA⊥PD,平面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PC上不同于端点的一点.证明PA⊥DE
取AD中点为F,连接PF,FB
∵侧面APD为等腰直角三角形,PA⊥PD
∴PF⊥AD
∵平面PAD⊥底面ABCD,交线为AD
∴PF⊥平面ABCD,
∴PF⊥FB,PF⊥AD
∵ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC
AD=2BC=2CD=2
∴FB⊥FA
以F为原点,如图建立坐标系
∵AD=2BC=2CD=2
∴PF=1
∴F(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),
C(-1,1,0),D(-1,0,0),E(-1/2,1/2,1/2)
∴PA=(1,0,-1),DE=(1/2,1/2,1/2)
∴PA●DE=1/2-1/2=0
∴PA⊥DE
再问： 原来坐标建在这，我还以为以D为原点建立呢，怪不得算不出来。这种建立坐标的方法，如何掌握？
再答： 看错了，以为是中点 P(0,0,1),C(-1,1,0),PC=(-1,1,-1) 设E(x,y,z),PE=(x,y,z-1) 又P,E,C三点共线，设PE=tPC=(-t,t,-t) ，(0≤t≤1) ∴x=-t,y=t,z-1=-t ∴E(-t,t,1-t) ∴DE=(1-t,t,1-t) ∴PA●DE=1-t+t-1=0 或 CD=(0,1,0),PC=(-1,1,-1) PA●CD=0,PA●PC=0 ∴PA⊥CD,PA⊥PC ∴PA⊥平面PAC ∵DE在平面PAC内 ∴PA⊥DE
再问： PA⊥平面PAC 应该是PA⊥平面PDC吧？你是不是写错了？最下面第三排
再答： 必须掌握纯几何的方法证明垂直 本题关键要用好面面垂直的条件 平面PAD⊥底面ABCD 面面垂直的性质定理 α⊥β,α∩β=l,a在α内，a⊥l 则a⊥β 是PA⊥平面PDC
再问： 那好吧，今后我向您请教几何法的思路。这个题目，我也是看得一头雾水。。。。
∵侧面APD为等腰直角三角形,PA⊥PD
∴PF⊥AD
∵平面PAD⊥底面ABCD,交线为AD
∴PF⊥平面ABCD,
∴PF⊥FB,PF⊥AD
∵ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC
AD=2BC=2CD=2
∴FB⊥FA
以F为原点,如图建立坐标系
∵AD=2BC=2CD=2
∴PF=1
∴F(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),
C(-1,1,0),D(-1,0,0),E(-1/2,1/2,1/2)
∴PA=(1,0,-1),DE=(1/2,1/2,1/2)
∴PA●DE=1/2-1/2=0
∴PA⊥DE
再问： 原来坐标建在这，我还以为以D为原点建立呢，怪不得算不出来。这种建立坐标的方法，如何掌握？
再答： 看错了，以为是中点 P(0,0,1),C(-1,1,0),PC=(-1,1,-1) 设E(x,y,z),PE=(x,y,z-1) 又P,E,C三点共线，设PE=tPC=(-t,t,-t) ，(0≤t≤1) ∴x=-t,y=t,z-1=-t ∴E(-t,t,1-t) ∴DE=(1-t,t,1-t) ∴PA●DE=1-t+t-1=0 或 CD=(0,1,0),PC=(-1,1,-1) PA●CD=0,PA●PC=0 ∴PA⊥CD,PA⊥PC ∴PA⊥平面PAC ∵DE在平面PAC内 ∴PA⊥DE
再问： PA⊥平面PAC 应该是PA⊥平面PDC吧？你是不是写错了？最下面第三排
再答： 必须掌握纯几何的方法证明垂直 本题关键要用好面面垂直的条件 平面PAD⊥底面ABCD 面面垂直的性质定理 α⊥β,α∩β=l,a在α内，a⊥l 则a⊥β 是PA⊥平面PDC
再问： 那好吧，今后我向您请教几何法的思路。这个题目，我也是看得一头雾水。。。。