(∫[a,b]f(x)g(x)dx)^2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 15:10:48

(∫[a,b]f(x)g(x)dx)^2<=(∫[a,b]f^2(x)dx)(∫[a,b]g^2(x)dx)用二重积分怎么证

本题少一个条件,f(x)与g(x)均恒正

右边=∫[a,b]f²(x)dx∫[a,b]g²(x)dx
由于定积分可随便换积分变量,将第二个积分变量换为y
=∫[a,b]f²(x)dx∫[a,b]g²(y)dy
=∫[a,b]∫[a,b] f²(x)g²(y) dxdy
（注：若开始将第一个积分变量换为y,可得右边=∫[a,b]∫[a,b] f²(y)g²(x) dxdy）
=(1/2)[ ∫[a,b]∫[a,b] f²(x)g²(y) dxdy + ∫[a,b]∫[a,b] f²(y)g²(x) dxdy ]
=∫[a,b]∫[a,b] (1/2)[f²(x)g²(y)+f²(y)g²(x)] dxdy
平均值不等式
≥∫[a,b]∫[a,b] [f(x)g(y)f(y)g(x)] dxdy
=∫[a,b] f(x)g(x) dx∫[a,b] f(y)g(y) dy
再将后一个积分变量换回x
=[∫[a,b] f(x)g(x) dx]²
=左边

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(∫[a,b]f(x)g(x)dx)^2 证明：(∫[a,b]f(x)g(x)dx)^2 ∫b a|f(x)-g(x)|dx 与 ∫b a[f(x)-g(x)]dx的区别证明∫[a,b]f(x)g(x)dx=f(ζ)∫[a,b]g(x)dx f(x) g(x)[a,b] x属于[a,b] a-b积分f(x)dx=a-b积分g(x)dx;a-x积分f(x)dx> d/dx∫(b,a)f'(x)dx= 若在[a,b]上有f（x）≤g（x）且 ∫ f（x）dx＝∫ g（x）d 来设在（a,b）内,f’（x）=g’（x）,那么下列各式一定成立的是?A.(∫f（x）dx)’=(∫g（x）dx)’B. 定积分的证明设y=f(x)及y=g(x)在[a,b]上连续.证明： (∫f(x)g(x)dx)^2=0左端的被积函数展开一道定积分证明题!设f(x),g(x)为连续函数，试证明(上限a 下限0 )∫x{f[g(x)+f[g(a-x)]}dx 定积分的运算法则∫kf（x）dx=∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx=区间是（a,b）貌似是运算法则设f(x)可导.且f(x)导数>0,f(0)=0,f(a)=b,g(x)是f(X)的反函数,求∫f（x）dx（上a下o）