作业帮一道初中的几何证明题,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 03:04:13
一道初中的几何证明题,
在△ABC中,∠B的平分线BE交AC于E,∠C的角平分线CD交AB与D,BE,CD相交于O点,且CD=BE,求证△ABC是等腰三角形.这个题目把我难住了,我是大二的.不知道是我真的变笨了还是忘记定理了,我只想明白这个到底是怎么证明的
请注意是任意三角形，而且希望大家做完能自己去验证一下，4楼的朋友明显是错的
在△ABC中,∠B的平分线BE交AC于E,∠C的角平分线CD交AB与D,BE,CD相交于O点,且CD=BE,求证△ABC是等腰三角形.这个题目把我难住了,我是大二的.不知道是我真的变笨了还是忘记定理了,我只想明白这个到底是怎么证明的
请注意是任意三角形，而且希望大家做完能自己去验证一下，4楼的朋友明显是错的
用代数的方法解决了这问题...几何方法实在没想出来
对角平分线有一个性质,就是它分对边的比等于与这两段相邻的三角形边的边长之比.这可以用正弦定理证,此处从略.
现在我们来求a边上的角分线长度m:
设a被该线分为p,q两段,p,q分别与b,c相连
由上面提到的性质,可知p=ab/(b+c),q=ac/(b+c)
对由m及a构成的一对互补的角,应用余弦定理,有:
(pp+mm-bb)/2pm+(qq+mm-cc)/2qm=0,通分化简可得
(p+q)mm=pcc+qbb-pq(p+q).将p,q带入,并注意p+q=a
化简可得m^2=bc[(b+c)^2-a^2]/(b+c)^2
现在我们让a边b边上的角分线等长,依上面给出的角分线长公式,知
bc*[1-a^2/(b+c)^2]=ac*[1-c^2/(a+c)^2]
移项通分得
(a-b)(a+c)^2*(b+c)^2+aab(a+c)^2-abb(b+c)^2=0 ---(*)
对后面一部分提出ab,将平方展开,得
aab(a+c)^2-abb(b+c)^2
=ab[aaa-bbb+2aac-2bbc+acc-bcc]
=ab(a-b)[aa+ab+bb+2c(a+b)+cc]
代入*式可提出a-b
得(a-b){(a+c)^2*(b+c)^2+ab[aa+ab+bb+2c(a+b)+cc]}=0
后面那一堆里面都是正数,都是正号,所以不可能为0
只有a-b=0,即a=b
同理b=c,故这是等边三角形(题目给的是任意***)
其实从证明过程中可以看到,只要两条角分线等长,就可以断定这是等腰三角形了
对角平分线有一个性质,就是它分对边的比等于与这两段相邻的三角形边的边长之比.这可以用正弦定理证,此处从略.
现在我们来求a边上的角分线长度m:
设a被该线分为p,q两段,p,q分别与b,c相连
由上面提到的性质,可知p=ab/(b+c),q=ac/(b+c)
对由m及a构成的一对互补的角,应用余弦定理,有:
(pp+mm-bb)/2pm+(qq+mm-cc)/2qm=0,通分化简可得
(p+q)mm=pcc+qbb-pq(p+q).将p,q带入,并注意p+q=a
化简可得m^2=bc[(b+c)^2-a^2]/(b+c)^2
现在我们让a边b边上的角分线等长,依上面给出的角分线长公式,知
bc*[1-a^2/(b+c)^2]=ac*[1-c^2/(a+c)^2]
移项通分得
(a-b)(a+c)^2*(b+c)^2+aab(a+c)^2-abb(b+c)^2=0 ---(*)
对后面一部分提出ab,将平方展开,得
aab(a+c)^2-abb(b+c)^2
=ab[aaa-bbb+2aac-2bbc+acc-bcc]
=ab(a-b)[aa+ab+bb+2c(a+b)+cc]
代入*式可提出a-b
得(a-b){(a+c)^2*(b+c)^2+ab[aa+ab+bb+2c(a+b)+cc]}=0
后面那一堆里面都是正数,都是正号,所以不可能为0
只有a-b=0,即a=b
同理b=c,故这是等边三角形(题目给的是任意***)
其实从证明过程中可以看到,只要两条角分线等长,就可以断定这是等腰三角形了