关于证明“Φ是任何集合的子集”的疑问

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 10:36:44

关于证明“Φ是任何集合的子集”的疑问
大多书上都是用反证法（假设存在元素x属于Φ,但x不属于集合A,那么“Φ不是任何集合的子集”.但由于Φ不存在任何元素,所以先前假设的内容“Φ不是任何集合的子集”是错误的,即待证结论“Φ是任何集合的子集”是正确的）.
但是我觉得这样证不对.换个思路,如果要证明“Φ是任何集合的子集”,只要能证明（元素x属于Φ,且x属于集合A）就可以了,但由于Φ不存在任何元素,所以假设（元素x属于Φ,且x属于集合A）是错误的,即“Φ不是任何集合的子集”.难道真的“Φ不是任何集合的子集”?
所以我觉得用Φ的定义（Φ不存在任何元素）和子集的定义（元素x属于A,且x属于B,那么A是B的子集）这2个“工具”来反证“Φ是任何集合的子集”是行不通的.因为用子集的定义来推翻假设,前提是子集定义中的集合A,B必须都是有元集合,即非Φ集合,不适合于Φ.所以我认为“Φ是任何集合的子集”这个应该是人为强行赋予的定义,而非通过反证明推出来的一个定理.
子集的定义[若存在（所有）元素x属于集合A，那么x都属于集合B，当且仅当这样A就是B的子集]
设命题P：（所有）元素x属于集合A；
Q：x属于集合B；
Z：A是B的子集；
子集的定义可化成命题公式是：ZP->Q （1）
再设命题a：元素x属于Φ；
b：元素x属于任意集合A；
c：Φ是任意集合A的子集；
带入上命题公式（1）中，其实就是要证明带入后是一个永真式，即命题a=T，b=F是不可能的，因为命题a的真值永=T（Φ的定义），所以命题c永=T，即“Φ是任意集合A的子集”......证毕！
是不是这样的？

元素x属于A=>元素x属于B (1)
等价于:
元素x不属于B=>元素x不属于A (2)
所以只要证明对于任意集合B,只要x不属于B,则x不属于Φ 就可以了.这一点是显然的,一位任何元素都不属于Φ
至于(2)和(1)为什么等价,这里只证从(2)推(1):
假设(2)已经成立,同时不妨设（1）不成立,即:
x属于A,但不属于B
那么根据x不属于B,及(2),得出x不属于A,与“不妨设”部分矛盾,所以“不妨设”部分是不成立的,也就是(1)不成立是不成立的...证毕
楼主,我看你的也晕了,不过我知道你已经理解了..继续努力
让我们从你的ZP->Q开始:
Z：Φ是A的子集
P：元素x属于集合Φ；
Q：x属于集合A；
我们要证Z,只需证P->Q,因为P->Q !Q -> !P
所以只要证Q不成立则P不成立就行了.而我们知道P永远是不成立的.所以倒推回去,Z就成立了

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