已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,….
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/13 14:03:14
已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,….
(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;
(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项.
(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;
(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项.
(1)由已知an+1=a2n+2an,
∴an+1+1=(an+1)2.
∵a1=2,∴an+1>1,两边取对数得:
lg(1+an+1)=2lg(1+an),
即lg(1+an+1)lg(1+an)=2
∴{lg(1+an)}是公比为2的等比数列.
(2)由(1)知lg(1+an)=2n-1•lg(1+a1)
=2n-1•lg3=lg32n-1
∴1+an=32n-1.(*)
∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)
=320•321•322•…•32n-1
=31+2+22+…+2n-1=32n-1.
由(*)式得an=32n-1-1.
龙者轻吟为您解惑,凤者轻舞闻您追问.
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∴an+1+1=(an+1)2.
∵a1=2,∴an+1>1,两边取对数得:
lg(1+an+1)=2lg(1+an),
即lg(1+an+1)lg(1+an)=2
∴{lg(1+an)}是公比为2的等比数列.
(2)由(1)知lg(1+an)=2n-1•lg(1+a1)
=2n-1•lg3=lg32n-1
∴1+an=32n-1.(*)
∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)
=320•321•322•…•32n-1
=31+2+22+…+2n-1=32n-1.
由(*)式得an=32n-1-1.
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