已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点F的直线交抛物线于M、N两点,且⊿MON面积的最小值为1/2,其中O为坐标原点

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 16:13:48

已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点F的直线交抛物线于M、N两点,且⊿MON面积的最小值为1/2,其中O为坐标原点.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点A（-p/2,0）作与直线MN倾斜角互补的直线,交抛物线于B、C两点,求证：（∣AB∣.∣AC∣）/(∣FM∣.∣FN∣)为定值,并求出该定值

(1)设直线方程为x=my+p/2,与y^2=2px联立,得到y^2-2pmy-p^2=0 韦达定理,转化
得|y1-y2|=2p*根（m^2+1) S⊿MON=p^2/2 *(m^2+1)
所以当m=0时取得最小值,即p^2/2＝1/2 ,解得p=1,抛物线方程y^2=2x
（2）倾斜角互补,则斜率互为相反数,将线段长度乘积转化为向量积（这是常用转化）
（∣AB∣.∣AC∣）/(∣FM∣.∣FN∣)＝向量（AB.AC）/－(FM.FN) 将M、N、B、C坐标设出,代入
（x与y的转化靠直线方程）
得到：向量（AB.AC）/－(FM.FN) ＝－y3*y4/y1*y2
第一问得到 y1*y2 =-p^2=－1,同理可得到 y3*y4=p^2=1,所以比值为定值1.

已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点F的直线交抛物线于M、N两点,且⊿MON面积的最小值为1/2,其中O为坐标原点已知抛物线y^2=2px（p>0）,过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点,O为坐标原点,求证：（2010•武汉模拟）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M、N两点，直线OM、ON（O为坐标原点已知斜率为2的直线l过抛物线y 2 =px（p＞0）的焦点F,且与y轴相交于点A,若△OAF（O为坐标原点）的面积为1 已知：斜率为1的直线l过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点抛物线习题已知斜率为2的直线l过抛物线y2=px（p＞0）的焦点F,且与y轴相交于点A,若△OAF（O为坐标原点）的面积已知直线l过点M(4,0)且与抛物线y的平方=2px(p>0)交于A、B两点,以炫AB为直径的圆恒过坐标原点O.求抛物线设抛物线C:y^2=2px(p>0),直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于A,B两点,O是坐标原点. 过抛物线y^2=2px（p>0）的焦点F作倾斜角为Q的直线交抛物线于A B两点设三角形AOB的面积为S（O为原点）过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交与A,B两点,且(三角形)OAB(O为坐标原点)的设抛物线C：y^2=2px的焦点为F,直线l过F且与抛物线C交于M、N两点,已知直线l与x轴垂直时,△OMN的面积为2（ 1过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点作倾斜角为135度的直线,交抛物线于A,B两点,O为原点,则三角形OAB的面积等