（2013•湛江）如图,在平面直角坐标系中,顶点为（3,4）的抛物线交y轴于A点,交x轴于B、

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/26 19:37:39

（2013•湛江）如图,在平面直角坐标系中,顶点为（3,4）的抛物线交y轴于A点,交x轴于B、
C两点（点B在点C的左侧）,已知A点坐标为（0,-5）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系,并给出证明；
（3）在抛物线上是否存在一点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．

（1）设抛物线解析式为：y=a（x-3）2+4,
将A（0,-5）代入求得：a=-1,
∴抛物线解析式为y=-（x-3）2+4=-x2+6x-5．

（3）存在．理由如下：
有两种情况：
（I）如答图②所示,点P在x轴上方．
∵A（0,-5）,C（5,0）,∴△AOC为等腰直角三角形,∠OCA=45°；
∵PC⊥AC,∴∠PCO=45°．
过点P作PF⊥x轴于点F,则△PCF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m,n）,则有OF=m,PF=CF=n,
OC=OF+CF=m+n=5 ①
又点P在抛物线上,∴n=-m2+6m-5 ②
联立①②式,解得：m=2或m=5．
当m=5时,点F与点C重合,故舍去,
∴m=2,∴n=3,
∴点P坐标为（2,3）；
（II）如答图③所示,点P在x轴下方．
∵A（0,-5）,C（5,0）,∴△AOC为等腰直角三角形,∠OAC=45°；
过点P作PF⊥x轴于点F,
∵PA⊥AC,∴∠PAF=45°,即△PAF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m,n）,则有PF=AF=m,OF=-n=OA+AF=5+m,
∴m+n=-5 ①
又点P在抛物线上,∴n=-m2+6m-5 ②
联立①②式,解得：m=0或m=7．
当m=0时,点F与原点重合,故舍去,
∴m=7,∴n=-12,
∴点P坐标为（7,-12）．
综上所述,存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．点P的坐标为（2,3）或（7,-12）．

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