作业帮△ABC的三边长分别为4,5,6,p为三角形内部任意一点,p到三边的距离分别为x,y,z,求x²+y²
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 12:46:09
△ABC的三边长分别为4,5,6,p为三角形内部任意一点,p到三边的距离分别为x,y,z,求x²+y²+z²
证明:下面给出更一般的结论.
设P是任意△ABC中的一个动点,P到△ABC的三边BC,CA,AB的距离分别是X、Y、Z,令BC=a,CA=b,AB=c,S是△ABC的面积.
根据面积公式,显然有:
a*X+b*Y+c*Z=2S (1)
由柯西不等式得:
(a^2+b^2+c^2)*(X^2+Y^2+Z^2)≥(a*X+b*Y+c*Z)^2==4S^2
所以有
X^2+Y^2+Z^2≥4S^2/(a^2+b^2+c^2) (2)
当且仅当P为△ABC的类似重心时等号成立.
因此对于任意△ABC,X^2+Y^2+Z^2的最小值为:
4S^2/(a^2+b^2+c^2).
根据（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] =15（√7）/2,从而得出最小值225/11.
设P是任意△ABC中的一个动点,P到△ABC的三边BC,CA,AB的距离分别是X、Y、Z,令BC=a,CA=b,AB=c,S是△ABC的面积.
根据面积公式,显然有:
a*X+b*Y+c*Z=2S (1)
由柯西不等式得:
(a^2+b^2+c^2)*(X^2+Y^2+Z^2)≥(a*X+b*Y+c*Z)^2==4S^2
所以有
X^2+Y^2+Z^2≥4S^2/(a^2+b^2+c^2) (2)
当且仅当P为△ABC的类似重心时等号成立.
因此对于任意△ABC,X^2+Y^2+Z^2的最小值为:
4S^2/(a^2+b^2+c^2).
根据（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] =15（√7）/2,从而得出最小值225/11.
△ABC的三边长分别为4,5,6,p为三角形内部任意一点,p到三边的距离分别为x,y,z,求x²+y²
△ABC中AB=5,BC=4,AC=3 设P是△ABC（含边界）内一点,P到三边AC、BC、AB的距离分别为x、y和z,
设一个三角形三边长分别为x、y、根号下x²-xy+y²,则最长边与最短边的夹角为
△ABC的三边长分别为3、4、5，P为面ABC外一点，它到△ABC三边的距离都等于2，则P到面ABC的距离是______
已知P为圆x²+y²+2x-2y-2=0上任意一点,求P到直线3x+4y+9=0距离的最值
若在三角形ABC中，三边长分别为x,y,z,且x的平方+y的
△ABC的三边长分别是3、4、5,P为△所在平面外一点,它到三边的距离都等于2,则P到平面α的距离为?
已知三角形的三边长分别为abc,三角形中有一点P,过P作三边的平行线,长度均为x,试用abc表示x
设P使三角形ABC内的一点,x,y,z是P到三边a,b,c的距离,R是三角形ABC外接圆的半径
已知abc为三角形的三边长 求a²+b²-c²-4a²b²
等边△ABC内一点P,P到三边的距离分别为PD=1,PE=3,PF=5,求△ABC的面积
在双曲线X²-Y²=1的右支上的一点P(a,b)到直线Y=X的距离为根号2,求a,b