作业帮问一道关于微分中值定理的数学题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/07 09:44:17
问一道关于微分中值定理的数学题
设函数f(x)在[0,1]上连续,在区间(0,1)上可导,且有f(1)=2f(0),证明在(0,1)内至少存在一点m,使得(1+m)f'(m)=f(m)成立.
要用微分中值定理来做,
设函数f(x)在[0,1]上连续,在区间(0,1)上可导,且有f(1)=2f(0),证明在(0,1)内至少存在一点m,使得(1+m)f'(m)=f(m)成立.
要用微分中值定理来做,
设g(x)=lnf(x)-ln(1+x).g(0)=lnf(0),g(1)=lnf(1)-ln2=ln(f(1))/2,g(0)=g(1),在[0,1]满足罗尔定理
故存在m属于（0,1）,使得g′(m)=0
而g′(x)=f′(x)/f(x)-1/(1+x),所以f′(m)/f(m)-1/(1+m)=0,即,(1+m)f'(m)=f(m)成立
再问： 谢谢，不过还想问一下，你是怎么想到g(x)=lnf(x)-ln(1+x)这个函数的？思路是什么？
再答： 从结论入手(1+m)f'(m)=f(m),变成f′(m)/f(m)-1/(1+m)=0, 继续变形 f′(m)/f(m)=1/(1+m) 这是 f′(x)/f(x)=1/(1+x)在m点的值。寻找那个函数的导数是这样的。 lnf(x)求导就是f′(x)/f(x)，ln(1+x)的导数是1/(1+x)，所以原来的等式就是lnf(x)=ln(1+x)求导数得到的。 设g(x)=lnf(x)-ln(1+x)检验满足罗尔定理的条件很容易。代入就可以。
故存在m属于（0,1）,使得g′(m)=0
而g′(x)=f′(x)/f(x)-1/(1+x),所以f′(m)/f(m)-1/(1+m)=0,即,(1+m)f'(m)=f(m)成立
再问： 谢谢，不过还想问一下，你是怎么想到g(x)=lnf(x)-ln(1+x)这个函数的？思路是什么？
再答： 从结论入手(1+m)f'(m)=f(m),变成f′(m)/f(m)-1/(1+m)=0, 继续变形 f′(m)/f(m)=1/(1+m) 这是 f′(x)/f(x)=1/(1+x)在m点的值。寻找那个函数的导数是这样的。 lnf(x)求导就是f′(x)/f(x)，ln(1+x)的导数是1/(1+x)，所以原来的等式就是lnf(x)=ln(1+x)求导数得到的。 设g(x)=lnf(x)-ln(1+x)检验满足罗尔定理的条件很容易。代入就可以。