高中排列组合.将三个相同小球放到四个盒子中,求三个小球放在不同盒子中的概率.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/09 16:09:08

高中排列组合.将三个相同小球放到四个盒子中,求三个小球放在不同盒子中的概率.
这里出现了两种解法：
解法一,第一个小球任意放入一个盒子里面.概率为1
第二个小球本可以任意放入一个盒子里面,但是由于不能和第一个小球重复,因此只能选择剩下的3个.概率为3/4.
第三个小球,和第二个小球的道理一样,这时只能在4个里面放入剩下的两个空盒才行.概率为2/4=1/2
由于为分步处理,用乘法原理得：P=1×3/4×1/2=3/8
解法二,三个小球放入4个盒子中的情况可分为三种：
1,三个小球放在一起.这样的话就只有一组,有四个可选的盒子,因此有四种选法.
2,三个小球中有两个在一起,一个独立.这样小球就分为两个不同组.放到4个盒子中的两个.有A²₄=12种放法.
3,三个小球分开放,放到四个盒子中.有C³₄=4种放法.
因此共有20种放法,其中满足条件的3共有4种.概率为4/20=1/5
看似两种方法都有道理,不过答案相差太大了.第一种方法是我的算法.第二种是所谓的“标准答案”,我一直抱以怀疑.但是到目前为止我还没有明确地指出其中一种方法的错误.不过我的突破口是第二种方法的每一个基本事件的概率可能不同,如果是这样的话就不能用目标事件数÷总事件数来求解,但是我没证出来.纠结!能详细正确地解答的必有重赏.

先肯定你的算法的答案是正确的.
而解法二的问题在于——被“相同”小球所误导
我先举个荒谬点的例子：抛两个“相同”的硬币,一正一反的概率是多少?
懂点概率的人就知道,是50%
但我也象解法二一样来分情况讨论：
1,两个硬币都正面朝上,一种扔法
2,两个硬币都正面朝下,一种扔法
3,两个硬币一正一反,一种扔法
所以概率是1/3
问题在哪儿呢?在计算概率时,A正B反和A反B正是两种可能,必须将AB视为“不同”的个体分开计算.
这样,我们将三个小球视作不同小球的话,将解法二重新整理下：
1,三个小球放在一起.这样的话就只有一组,有四个可选的盒子,因此有四种选法.（无争议）
2,三个小球中有两个在一起,一个独立.这样小球就分为两个不同组.放到4个盒子中的两个.有A²₄=12种放法.（分组有3种分法,所以这里应该是12*3=36种放法）
3,3,三个小球分开放,放到四个盒子中.有C³₄=4种放法.（3个小球再全排列,这里应该是6*4=24种放法）
因此共有64种放法,其中满足条件的3共有24种放法,概率为24/64=3/8
只有将小球进行编号视作不同,才能保证每一种放法出现的概率相同,从而最后可以用24/64来得出答案.如仍有疑惑,欢迎继续追问.

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