已知函数f(x)=x/根号下（1+x^2）,(x>0),数列an满足a1=f(x),a(n+1)=f(an)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 03:14:42

已知函数f(x)=x/根号下（1+x^2）,(x>0),数列an满足a1=f(x),a(n+1)=f(an)
(1) 求a2 ,a3 ,a4
（2）猜想数列an的通项公式,并证明你的猜想

1、
a1=f(x)=x/√(1+x²)
a2=f(a1)=[x/√(1+x²)]/√[1+x²/(1+x²)]=[x/√(1+x²)]/[√(2x²+1)/√(1+x²)]=x/√(2x²+1)
a3=f(a2)=[x/√(1+2x²)]/√[1+x²/(1+2x²)]=[x/√(1+2x²)]/[√(3x²+1)/√(1+2x²)]=x/√(3x²+1)
a4=f(a3)=[x/√(1+3x²)]/√[1+x²/(1+3x²)]=[x/√(1+3x²)]/[√(4x²+1)/√(1+3x²)]=x/√(4x²+1)
2、
猜想：an=x/√(nx²+1)
证：
由(1)得,n=1时,a1=x/√(1+x²),表达式成立.
假设当n=k(k∈N+)时,表达式成立,即ak=x/√(kx²+1),则当n=k+1时,
a(k+1)=f(ak)=[x/√(1+kx²)]/√[1+x²/(1+kx²)]=[x/√(1+kx²)]/[√((k+1)x²+1)/√(1+kx²)]=x/√[(k+1)x²+1],表达式同样成立.
综上,得数列{an}的通项公式为an=x/√(nx²+1).
再问：可以再问你一个问题吗？已知x=1是函数f(x)=ax^3-3(a+1)x^2+bx+1的一个极值点，其中a,b∈R，a

已知函数f(x)=x/根号下（1+x^2）,(x>0),数列an满足a1=f(x),a(n+1)=f(an) 已知函数f(x)=(根号x^3-2)^1/3,且数列满足a1=2,a(n+1)=f^-1(an),求an 已知函数f(x)=(x^3-x) /3,数列{an}满足a1>=1,an+1>=f'(an+1)证明an>=（2^n）- 已知函数f(x)=2x/(x+1),数列{an}满足a1=4/5,a(n+1)=f(an),bn=1/an-1. 已知函数f(x)=ln(1+x)-x数列{an}满足a1=1/2,ln2+ln a(n+1)=a(n+1)an+f(a( 已知函数f(x)=x/x+3,数列an满足a1=1,a（n+1）=f(an) （n属于N+）已知函数f(X)=X/(3x+1),数列{an}满足a1=1,a(n+1)=f(an),证明数列{1/an}是等差数列已知函数f(x)=x/(3x+1),数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*),求证：数列{1/an}是设函数f(x)=(2x+1)/x [x＞0] 数列an满足a1=1,an=f[1/a(n-1)] 已知函数f(x)=根号下（4x^2+1）/x(x≠0),正数数列{an}中,a1=1,an+1=1/f(an) (n∈N 已知函数f(x)=根号下（4x^2+2）/x(x≠0),正数数列{an}中,a1=1,an+1=1/f(an) (n∈N 已知函数f(x)=(2x+3)/3x,数列{an}满足a1=1,an+1=f(1/an),n∈N*.