如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/08 14:30:19

如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t．

（1）当t=

（1）∵∠ODC+∠EDB=∠ODC+∠COD=90°，
∴∠DOC=∠EDB，
同理得∠ODC=∠DEB，
∵∠OCD=∠B=90°，
∴△CDO∽△BED，
∴
CD
BE＝
CO
BD，即

1
3
BE＝
1
1−
1
3，
得BE=
2
9，则点E的坐标为E（1，
7
9），
设直线DE的一次函数表达式为y=kx+b，直线经过两点D（
1
3，1）和E（1，
7
9），
代入y=kx+b得k＝−
1
3，b＝
10
9，
故所求直线DE的函数表达式为y=−
1
3x+
10
9；
（2）存在S的最大值．
∵△COD∽△BDE，
∴
CD
BE＝
CO
DB，即
t
BE＝
1
1−t，BE=t-t²，
S＝
1
2×1×（1+t-t²）=−
1
2(t−
1
2)2+
5
8．
故当t=
1
2时，S有最大值
5
8；
（3）在Rt△OED中，OD²+DE²=OE²，OD²+DE²的算术平方根取最小值，也就是斜边OE取最小值．
当斜边OE取最小值且一直角边OA为定值时，另一直角边AE达到最小值，
于是△OEA的面积达到最小值，
此时，梯形COEB的面积达到最大值．
由（2）知，当t=
1
2时，梯形COEB的面积达到最大值，故所求点E的坐标是（1，
3
4）．