如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点左侧,B点的坐标为（

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 03:43:55

如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点左侧,B点的坐标为（3,0）,与y轴交于C（0,-3）点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式
（2）连接PO、PC,并把△POC沿CD翻折,得到四边形POP'C,那么是否存在点P,使四边形POP'C为菱形?若存在,请求出点P的坐标
（3）当点P运动早什么位置时,四边形ABPC的面积最大,冰球出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积

思路：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分,若四边形四边形POP′C为菱形,那么P点必在OC的垂直平分线上,据此可求出P点的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值,当四边形ABPC的面积最大时,△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线,交直线BC于Q,交x轴于F,易求得直线BC的解析式,可设出P点的横坐标,然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标,即可得到PQ的长,以PQ为底,B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积,由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
（1）将B、C两点的坐标代入得
解得： {b=-2
c=-3；
所以二次函数的表达式为：
y=x^2-2x-3
（2）存在点P,使四边形POPC为菱形；设P点坐标为（x,x^2-2x-3）,PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形,则有PC=PO；
连接PP′则PE⊥CO于E,
∴OE=EC= 32
∴y= -32；
∴x^2-2x-3= -32
解得x1= 2+根号10/2,x2= 2-根号10/2（不合题意,舍去）
∴P点的坐标为（ 2+102, -32）
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P（x,x^2-2x-3）,
易得,直线BC的解析式为y=x-3
则Q点的坐标为（x,x-3）；
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
= 12AB•OC+ 12QP•OF+ 12QP•BF
= 12×4×3+12(-x2+3x)×3
= -32(x-32)2+758
当 x=32时,四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为 (32,-154),四边形ABPC的面积的最大值为 758．
图片里左边的是第一问的图图、右边的是第二问的图图~