如图所示,△DEF是正三角形,且AD=BE=CF,试判断△ABC是正三角形吗?若是,请予以证明；若不是,请说明理由.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 03:54:24

证明：假设△ABC不等边,不妨设∠A＞60°＞∠B
那么有：
∠AED=180°-∠A-∠ADE
=180°-∠A-（120°-∠BDF）
=60°-∠A+∠BDF
因为60°＜∠A,所以∠BDF＞∠AED
∠ADE=120°-∠BDF
=120°-（180°-∠B-∠BFD）
=∠B-60°+∠BFD
因为∠B＜60°,所以∠BFD＞∠ADE
根据正弦定理：
BF/DF=sin∠BDF/sinB；
AD/DE=sin∠AED/sinA；
∵BF=AD,DF=DE,
∴sin∠BDF/sinB=sin∠AED/sinA
∵∠A＞∠B,DE=DF
∴sin∠AED＞sin∠BDF,而∠BDF＞∠AED,
所以∠BDF＞∠AED＞90°,且∠ADE＜∠BFD＜30°
根据余弦定理：则有BD＞AE
设DE=DF=FE=a,AD=BF=CE=b,因为∠BDF＞∠AED＞90°,所以钝角边大于锐角边
即AD＞DE,BD＞DF,b＞a,
因为∠BDF＞∠AED＞90°,所以cos∠BDF＜cos∠AED根据余弦定理
cos∠BDF=（BD²+a²-b²）/2aBD=BD/2a+（a²-b²）/2aBD
cos∠AED=（AE²+a²-b²）/2aAE=AE/2a+（a²-b²）/2aAE
即BD/2a+（a²-b²）/2aBD＜AE/2a+（a²-b²）/2aAE
即BD-AE＜（a²-b²）（1/AE-1/BD）=（a²-b²）(BD-AE)/（AE×BD）
由于BD＞AE,
因此（a²-b²）/（AE×BD）＞1
可是b＞a,a²-b²＜0,AE×BD＞0,所以显然不成立
所以假设不成立
△ABC是正三角形.

如图所示,△DEF是正三角形,且AD=BE=CF,试判断△ABC是正三角形吗?若是,请予以证明；若不是,请说明理由. ,△DEF为正三角形,D,E,F分别为边AB,BC,CA上的点,且AD=BE=CF求证△ABC是正三角形 BE⊥AD,CF⊥AD,且BE=CF,请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线?请说明你判断的理由. 如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．如图,△DEF是正三角形,AD=BF=EC,求证:△ABC是正三角形. 如图,已知BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,且BE=CF,请判断AD是△ABC的中线还是角平分线,并说明理由. 如图,△ABC是等边三角形,且AD=BE=CF,那么△DEF是等边三角形吗?并说明理由如图,已知AE交BC于点D,BE⊥AE,CF⊥AE,且BE=CF,请你判断AD是△ABC的中线,还是角平分线?请说明理由 △ABC是等边三角形,且AD=BE=CF,那么△DEF是等边三角形吗? 一道几何题目的证明.三角形DEF是画正三角形,AD=BF=EC,证三角形ABC是正三角形如图,三角形DEF是正三角形 AD=BF=EC 求证三角形ABC是正三角形三角形ABC,点D ,E, F分别是AB,BC,CA边上的点.已知三角形DEF是正三角形,AD=BE=CF,求证三角形A