已知三阶实对称矩阵A的每行元素之和都等于2,且R(2E+A)=1(1)求正交阵P,使得P-1AP为对角形矩阵?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/20 19:54:08

已知三阶实对称矩阵A的每行元素之和都等于2,且R(2E+A)=1(1)求正交阵P,使得P-1AP为对角形矩阵?
（2）求A的m次方,其中m是大于等于1的自然数

首先A的各行元素和为2,说明有一个特征向量x1 = (1,1,1)^T,特征值为2
又r(2E+A) = 1,说明方程(A+2E)x = 0有两个线性无关解x2,x3,所以x2,x3是A的特征值为-2的特征向量.这样我们找出了所有特征向量和特征值.
因为正交阵P的每一列都是A的特征向量,而上面我们已经知道A只有两个特征值.所有与x1垂直的向量肯定是特征值为-2的特征向量,换名话说,我们只要构造第一列与x1平行的正交矩阵P.比如说 P =
1/√3 1/√2 1/√6
1/√3 -1/√2 1/√6
1/√3 0 -2/√6
当然答案不唯一,你也可以用正交化的方法求一个.
我们有A = PDP^-1,D = diag{2,-2,-2}为对角阵
所以A^m = PD^mP^{-1}, D^m = diag{2^m, (-2)^m, (-2)^m}
再把你求的P代进去算就可以了.

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