求2013年广东省珠海市数学中考第21道题答案要详细过程

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 01:55:20

21．（9分）（2013•珠海）如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P为AC边上的一点,将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′）,当AP旋转至AP′⊥AB时,点B、P、P′恰好在同一直线上,此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当
,BP′=5
时,求线段AB的长．
（1）证明：∵AP′是AP旋转得到,
∴AP=AP′,
∴∠APP′=∠AP′P, ∵∠C=90°,AP′⊥AB,
∴∠CBP+∠BPC=90°,∠ABP+∠AP′P=90°, 又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等）, ∴∠CBP=∠ABP；
（2）证明：如图,过点P作PD⊥AB于D, ∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°, ∴CP=DP, ∵P′E⊥AC,
∴∠EAP′+∠AP′E=90°, 又∵∠PAD+∠EAP′=90°, ∴∠PAD=∠AP′E,
在△APD和△P′AE中,
∴△APD≌△P′AE（AAS）, ∴AE=DP, ∴AE=CP；
（3）∵
=,
∴设CP=3k,PE=2k,
则AE=CP=3k,AP′=AP=3k+2k=5k,

在Rt△AEP′中,P′E=
=4k,
∵∠C=90°,P′E⊥AC,
∴∠CBP+∠BPC=90°,∠EP′P+∠P′PE=90°, ∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等）, ∴∠CBP=∠P′PE,
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°, ∴△ABP′∽△EPP′, ∴=
, 即
=,
解得P′A=AB,
在Rt△ABP′中,AB2
+P′A2
=BP′2
, 即AB2
+AB2
=（5）2
,
解得AB=10．

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