已知a是抛物线y^2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,准线l与x轴交与点K,已知|AK|=√2|AF|,△AK

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/09 08:33:52

已知a是抛物线y^2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,准线l与x轴交与点K,已知|AK|=√2|AF|,△AKF的面积为8
(1).求p的值;
(2).过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1和l2,与抛物线相交得两条弦,两天弦的中点分别为G,H,求|GH|的最小值.
(注:题目中的"√"为根号,"l1"中"l"是英文字母"L"的小写)

[1]过A点做AF'平行与x轴,交准线于F’点,
那么由抛物线的定义有|AF|=|AF'|,
因为|AK|=√2|AF|,所以有|AK|=√2|AF'|
从而在直角△AF'K中cos∠F'AK=√2/2
所以∠F'AK=45°,于是p=|AF'|=|F'K|,
说明A点的纵坐标为p或者-p,
故此S△=p*p/2=8,于是p=4
[2]抛物线方程为y^2=8x,焦点为(-2,0)
设l1方程为y=k(x-2),
那么l2方程是y=(-1/k)(x-2)
将y=k(x-2)与y^2=8x联立得到
k^2*x^2-(4k^2+8)x+4k^2=0...(*)
有两个根,那么就有
△1=(4k^2+8)^2-4k^2*4k^2>0
得到4k^2+4>0.（**）
显然,所以只要求k不为零即有l1与抛物线有两根
由韦达公式
那么其中点坐标为G(2+4/k^2,4/k)
将l2方程与抛物线方程联立,其实就是将(*)(**)中k换成-1/k即可,因为l1与l2的位置是等同的
所以同样有k不为0的要求,其中点坐标是
H(2+4k^2,-4k)
|GH|^2=16/k^4+16k^4+16/k^2+16k^2
用两次均值不等式就可以得到最小值
|GH|^2>=2√(16*16）+2√(16*16)=64
所以GH最小为8
当16/k^2=16k^2时取到,此时k=1或者-1,
即两条直线是
y=x-2
y=-x-2

已知a是抛物线y^2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,准线l与x轴交与点K,已知|AK|=√2|AF|,△AK 已知抛物线C：y²=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且│AK│=√2│AF│,则△AFK的面积已知抛物线C:Y的平方=8X的焦点为F,准线与X轴的焦点为K,点A在C上且|AK|=根号2|AF|,则三角形AKF的面积 1.已知抛物线C：y的平方=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且/AK/=根号2倍/AF/，则三角形AFK 已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=2 已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为（　　）设抛物线C:y^2=8x的焦点为F,准线与x轴相交于点K,点A在抛物线C上且|AK|=√2|AF|,则三角形AFK的周长设F是抛物线y^2=2px(p大于0）的焦点,直线l过F与抛物线交于A,B两点,准线l'与x轴交于点K.求证角AKF=角高三一道抛物线小题,已知抛物线y^2=2px的焦点F到其准线的距离为8,抛物线的准线与x轴交点为K,点A在抛物线上,且| 设抛物线y平方=2px(p＞0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线与A.B两点,点C在抛物线的准线上,且BC平行x轴,证已知抛物线y^2=2px,直线l斜率为k经过焦点f与抛物线交于A,B求1\AF+1\BF的值. 已知抛物线y^2=2px(p>0),焦点为F,一直线l与抛物线交于A、B两点,且AF+BF=8,且