设圆满足「1」截y轴所得弦长为2 「2」被X轴分成两段弧弧长比为3：1

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/20 21:49:32

设圆满足「1」截y轴所得弦长为2 「2」被X轴分成两段弧弧长比为3：1
求圆心到直线X-2Y=0距离最小的圆的方程

设圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
截y轴所得弦长为2,即令x=0,y的两个根之差的绝对值为2.
也即y^2-2by+a^2+b^2-r^2=0
由韦达定理得
y1+y2=2b
y1y2=a^2+b^2-r^2
于是有
2^2=4=|y1-y2|^2=(y1+y2)^2-4y1y2
=(2b)^2-4(a^2+b^2-r^2)=4(r^2-a^2)
得r^2=a^2+1 ①
被X轴分成两段弧弧长比为3：1,设与x轴的两个交点为M(x1,0)、N(x2,0),圆心P(a,b),则有
PM⊥PN,即△MPN为RT三角形.于是有
PM^2+PN^2=MN^2
(a-x1)^2+b^2+(a-x2)^2+b^2=(x2-x1)^2
化简得
x1x2-a(x1+x2)+a^2+b^2=0 ②
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,令y=0得
x^2-2ax+a^2+b^2-r^2=0
由韦达定理得
x1+x2=2a
x1x2=a^2+b^2-r^2
代入②式得
a^2+b^2-r^2-2a^2+a^2+b^2=0
得
r^2=2b^2 ③
结合①③可得
a^2=2b^2-1 ④
r^2=2b^2 ⑤
圆心P(a,b)到直线X-2Y=0距离为
d=|a-2b|/√[1^2+(-2)^2]=|a-2b|/√5
由④式可令
a=tanx
b=√2/2*secx
于是有
d=|a-2b|/√5
=|tanx-√2secx|/√5
=|(sinx-√2)/cosx|/√5
令(sinx-√2)/cosx=k
得
sinx-kcosx=√2=√(1+k^)sin(x+α)≤√(1+k^2)
得k^2≥1
于是有
d=|a-2b|/√5=|(sinx-√2)/cosx|/√5=|k|/√5≥1^2/√5=1/√5
此时有|a-2b|=1
也即a-2b=1或a-2b=-1 ⑥
联立④⑤⑥可解得
a=1,b=1,r=√2
或
a=-1,b=-1,r=√2
于是圆的方程为
(x-1)^2+(y-1)^2=2
或
(x+1)^2+(y+1)^2=2

设圆满足 「1」截y轴所得弦长为2 「2」被X轴分成两段弧 弧长比为3：1

设圆满足「1」截y轴所得弦长为2 「2」被X轴分成两段弧弧长比为3：1