已知定点A（-2，0），动点B是圆F：（x-2）2+y2=64（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/14 03:32:41

已知定点A（-2，0），动点B是圆F：（x-2）²+y²=64（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（0，-4）的直线l交P点的轨迹于点R，T，且满足

•

＝

（I）由题意得|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8．故|PA|+|PF|=8＞|AF|=4
∴P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆．
设椭圆方程为
x2
a2+
y2
b2＝1(a＞b＞0)
∴p点轨迹方程为
x2
16+
y2
12＝1．
（II）假设存在满足题意的直线L．易知当直线的斜率不存在时，

OR•

OT＜0不满足题意．
故设直线L的斜率为k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂）．
∵

OR•

OT＝
16
7，∴x1x2+y1y2＝
16
7．
由

y＝kx−4

x2
16+
y2
12＝1得(3+4k2)x2−32kx+16＝0．由△＞0得，(−32k)2−4(3+4k2)•16＞0解得k2＞
1
4．…①．
∴x1+x2＝
32k
3+4k2，x1•x2＝
16
3+4k2．
∴y₁•y₂=（kx₁-4）（kx₂-4）=k²x₁x₂-4k（x₁+x₂）+16，
故x1x2+y1y2＝
16
3+4k2+
16k2
3+4k2−
128k2
3+4k2+16＝
16
7．解得k²=1．…②．
由①、②解得k=±1．
∴直线l的方程为y=±x-4．
故存在直线l：，x+y+4=0或x-y-4=0，满足题意．