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高一数学如图,四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,角PDA=45°,点E,F为棱AB,PD的

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/26 05:06:15
高一数学如图,四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,角PDA=45°,点E,F为棱AB,PD的中点
1.求证AF⊥面PCD
2求证直线AC与面PCD所成的角的大小

(1),因,PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,因,ABCD的底面是正方形,所以AD⊥DC
所以CD⊥平面PAD,AF属于平面PAD,所以AF⊥CD,
因,PA⊥AD,角PDA=45°,所以PA=AD=2,F为棱PD的中点,所以AF⊥PD
所以,AF⊥平面PAD
(2)因AF⊥平面PAD,CF即为AC在平面PAD上的投影,角ACF即为直线AC与面PCD所成的角,
PD=2√2,FD=1/2PD=√2
过F作FM⊥AD于M,连接CM,CF,FM//PA,FM=1/2PA=1,FM⊥平面ABCD,FM⊥CM
M是AD中点MD=1/2AD=1,CD=AD=2,CM=√5,CF=√5+1=√6,AC=2√2,AF=1/2PD=√2
cos角ACF=(AC²+CF²-AF²)/2AC*CF=√3/2,
所以,角ACF=60度.