作业帮求近年北京高一数学竞赛试题及答案
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 19:35:36
求近年北京高一数学竞赛试题及答案
怎么全是04年的
有近一点的吗？
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2004年北京市中学生数学竞赛
高一年级初赛试题
一、选择题（满分36分）
1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是
A. f(x)=x2 B. f(x)=ax2+5
C. f(x)=x2+x D. －x2+2004
2. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、 、 中,偶函数的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 恰有3个实数解,则a等于
A. 0 B. 0.5 C. 1 D.
4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0,f(x)是R上的奇函数,并且是个严格的减函数,即若x1f(x2),则
A. 2f(a)+f(b)+f(c)=0 B. f(a)+f(b)+f(c)0 D. f(a)+2f(b)+f(c)=2004
5. 已知a、b、c、d四个正整数中,a被9除余1,b被9除余3,c被9除余5,d被9除余7,则一定不是完全平方数的两个数是
A. a、b B. b、c C. c、d D. d、a
6. 正实数列a1,a2,a3,a4,a5中,a1,a2,a3成等差数列,a2,a3,a4成等比数列,且公比不等于1,又a3,a4,a5的倒数成等比数列,则
A. a1,a3,a5成等比数列
B. a1,a3,a5成等差数列
C. a1,a3,a5的倒数成等差数列
D. 6a1,3a3,2a5的倒数成等比数列
二、填空题（满分64分）
1. 已知 ,试确定 的值.
2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004,求a被17除的余数.
3. 已知 ,若ab2≠1,且有 ,试确定 的值.
4. 如图所示,等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上,E在△ABC的斜边AB上,如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米,那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米?
5. 若a,b∈R,且a2+b2=10,试确定a－b的取值范围.
6. a和b是关于x的方程x4+m=9x2的两个根,且满足a+b=4,试确定m的值.
7. 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值.
8. 将2004表示为n个彼此不等的正整数的和,求n的最大值.
初赛答案表
选择题：ADCBBA；填空题：1、－0.5 2、1
3、－1 4、10 5、[ , ]
6、49/4 7、1/16 8、62
2001年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题
一、选择题（满分36分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的英文字母代号填入第1项指定地方,答对得6分,答错或不答均计0分）
1．集合｛0,1,2,2001｝的子集的个数是
（A）16 （B）15 （C）8 （D）7
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中,M为棱C1D1上一点,N为棱AB上一点,且∠MAB＝∠B1NB＝60°,则不正确的结论是
（A）AM与CC1是异面直线. （B）AM与NB1是异面直线.
（C）AN与MB1是异面直线. （D）AN与MC1是异面直线.
3．函数y＝-√(1-x) (x≤1)的反函数是（A）y=x2-1 (-1≤x≤0). (B)y=1-x2 (x≤0) (C)y=x2-1(0≤x≤1) (D)y=1-x2(0≤x≤1)
4．一条直线与不等边ΔABC的边AB,AC分别交于D、E,若直线DE既平分ΔABC的周长,又平分ΔABC的面积,则直线DE必过ΔABC的
（A）重心 （B）外心 （C）内心 （D）垂心
5．已知f（x6）=log2x,那么f（8）等于
（A）4/3 （B）8 （C）18 （D）1/2
6．右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直.
以上四个命题中正确命题的序号是
（A）①②③ （B）②③④ （C）③④ （D）②④
二、填空题（满分64分,每小题8分,请将答案填入第1页指定地方）
1．正四面体ABCD中,M为棱BD的中点,N为棱AD的中点,异面直线MN与CD所成的角为α,AC与MN所成的角为β,求α＋β的度数.
2．若实数X,Y,Z满足√X＋√(Y－1)＋√(Z－2)＝1/2（X＋Y＋Z）,求logz（X＋Y）的值.
3．设对任意实数X都有f (x)=x2+lg(x+√(x2+1)),且f (a)=m,求f (-a),用a,m表示.
4．设f (x)是定义在R上的偶函数,且f (x+2)=-1/f (x),当2≤X≤3时,f (x)=x,确定f (5.5)的值.
5．四面体ABCD中,棱CD垂直于平面ABC,AB＝BC＝CA＝6,BD＝3√7,设二面角D－AC－B记为α,二面角D－AB－C记为β,二面角B－DC－A记为r,求sinα＋tgβ+cosr的值.
6．分别用max{x1,x2,x3,…,xn}、min{x1,x2,x3,…,xn}表示x1,x2,x3,…,xn的最大值与最小值.
若a+b+c=1,（a,b,c∈R）,确定min{max{a+b,b+c,c+a}}的值.
7．设3x=0.03y=10-2,求(1/x-1/y)2001的值.
8．若关于x的方程sin2x+sinx+a=0有实数解,求实数a的最大值与最小值的和.
一、填空题（满分40分,每小题答对得8分）
1．已知f (x+y)=f (x)•f (y)对任意的非负实数X,Y都成立,且f (1)=3,则f (1)/f (0)+f(2)/f(1)+f (3)/f (2)+f (4)/f (3)+…+f (2000)/f (1999)+f (2001)/f (2000)=（ ）
2．在右图中,AD＝AB,∠ABC＝∠BAD＝90°,四边形ABCD的面积是22,正方形CDEF的面积是25,则线段AE＝（ ）.
3.设a=√(1+1/12+1/22)+√(1+1/22+1/32)+√(1+1/32+1/42)+…+√(1+1/20002+1/20012),则与a最接近的整数是（ ）
4．两个不同的二次三项式f (x)与g (x),它们的首项系数都是1,并且满足f (1)+f (10)+f (100)=g (1)+g (10)+g (100).则方程f (x)＝g (x)的解x＝（ ）.
5．在四面体ABCD中,二面角B－AC－D是直二面角,AB＝BC＝CD,BD＝AC,二面角B－AD－C记为α,则cosα=（ ）.
二、（满分15分）整系数多项式f (x)满足f (1999)•f (2000)=2001,请你证明f (x)=0没有整数根.
三、（满分15分）已知二次函数f (x)满足f (-1)=0,并且对一切实数x,恒有x≤f (x)≤1/2(x2+1)试确定f (x)的表达式,并计算f (2001)的值.
四、（满分15）在四面体ABCD中,已知AB＝3,BC＝4,CD＝5,∠ABC＝45°,∠BCD＝90°,直线AB和CD所成的角等于60°,求棱AD的长.
五、（满分15分）在集合M＝｛2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,958,959,960｝中任意取出11个两两互质的自然数,证明：其中至少有一个是质数.
高一年级初赛试题
一、选择题（满分36分）
1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是
A. f(x)=x2 B. f(x)=ax2+5
C. f(x)=x2+x D. －x2+2004
2. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、 、 中,偶函数的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 恰有3个实数解,则a等于
A. 0 B. 0.5 C. 1 D.
4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0,f(x)是R上的奇函数,并且是个严格的减函数,即若x1f(x2),则
A. 2f(a)+f(b)+f(c)=0 B. f(a)+f(b)+f(c)0 D. f(a)+2f(b)+f(c)=2004
5. 已知a、b、c、d四个正整数中,a被9除余1,b被9除余3,c被9除余5,d被9除余7,则一定不是完全平方数的两个数是
A. a、b B. b、c C. c、d D. d、a
6. 正实数列a1,a2,a3,a4,a5中,a1,a2,a3成等差数列,a2,a3,a4成等比数列,且公比不等于1,又a3,a4,a5的倒数成等比数列,则
A. a1,a3,a5成等比数列
B. a1,a3,a5成等差数列
C. a1,a3,a5的倒数成等差数列
D. 6a1,3a3,2a5的倒数成等比数列
二、填空题（满分64分）
1. 已知 ,试确定 的值.
2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004,求a被17除的余数.
3. 已知 ,若ab2≠1,且有 ,试确定 的值.
4. 如图所示,等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上,E在△ABC的斜边AB上,如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米,那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米?
5. 若a,b∈R,且a2+b2=10,试确定a－b的取值范围.
6. a和b是关于x的方程x4+m=9x2的两个根,且满足a+b=4,试确定m的值.
7. 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值.
8. 将2004表示为n个彼此不等的正整数的和,求n的最大值.
初赛答案表
选择题：ADCBBA；填空题：1、－0.5 2、1
3、－1 4、10 5、[ , ]
6、49/4 7、1/16 8、62
2001年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题
一、选择题（满分36分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的英文字母代号填入第1项指定地方,答对得6分,答错或不答均计0分）
1．集合｛0,1,2,2001｝的子集的个数是
（A）16 （B）15 （C）8 （D）7
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中,M为棱C1D1上一点,N为棱AB上一点,且∠MAB＝∠B1NB＝60°,则不正确的结论是
（A）AM与CC1是异面直线. （B）AM与NB1是异面直线.
（C）AN与MB1是异面直线. （D）AN与MC1是异面直线.
3．函数y＝-√(1-x) (x≤1)的反函数是（A）y=x2-1 (-1≤x≤0). (B)y=1-x2 (x≤0) (C)y=x2-1(0≤x≤1) (D)y=1-x2(0≤x≤1)
4．一条直线与不等边ΔABC的边AB,AC分别交于D、E,若直线DE既平分ΔABC的周长,又平分ΔABC的面积,则直线DE必过ΔABC的
（A）重心 （B）外心 （C）内心 （D）垂心
5．已知f（x6）=log2x,那么f（8）等于
（A）4/3 （B）8 （C）18 （D）1/2
6．右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直.
以上四个命题中正确命题的序号是
（A）①②③ （B）②③④ （C）③④ （D）②④
二、填空题（满分64分,每小题8分,请将答案填入第1页指定地方）
1．正四面体ABCD中,M为棱BD的中点,N为棱AD的中点,异面直线MN与CD所成的角为α,AC与MN所成的角为β,求α＋β的度数.
2．若实数X,Y,Z满足√X＋√(Y－1)＋√(Z－2)＝1/2（X＋Y＋Z）,求logz（X＋Y）的值.
3．设对任意实数X都有f (x)=x2+lg(x+√(x2+1)),且f (a)=m,求f (-a),用a,m表示.
4．设f (x)是定义在R上的偶函数,且f (x+2)=-1/f (x),当2≤X≤3时,f (x)=x,确定f (5.5)的值.
5．四面体ABCD中,棱CD垂直于平面ABC,AB＝BC＝CA＝6,BD＝3√7,设二面角D－AC－B记为α,二面角D－AB－C记为β,二面角B－DC－A记为r,求sinα＋tgβ+cosr的值.
6．分别用max{x1,x2,x3,…,xn}、min{x1,x2,x3,…,xn}表示x1,x2,x3,…,xn的最大值与最小值.
若a+b+c=1,（a,b,c∈R）,确定min{max{a+b,b+c,c+a}}的值.
7．设3x=0.03y=10-2,求(1/x-1/y)2001的值.
8．若关于x的方程sin2x+sinx+a=0有实数解,求实数a的最大值与最小值的和.
一、填空题（满分40分,每小题答对得8分）
1．已知f (x+y)=f (x)•f (y)对任意的非负实数X,Y都成立,且f (1)=3,则f (1)/f (0)+f(2)/f(1)+f (3)/f (2)+f (4)/f (3)+…+f (2000)/f (1999)+f (2001)/f (2000)=（ ）
2．在右图中,AD＝AB,∠ABC＝∠BAD＝90°,四边形ABCD的面积是22,正方形CDEF的面积是25,则线段AE＝（ ）.
3.设a=√(1+1/12+1/22)+√(1+1/22+1/32)+√(1+1/32+1/42)+…+√(1+1/20002+1/20012),则与a最接近的整数是（ ）
4．两个不同的二次三项式f (x)与g (x),它们的首项系数都是1,并且满足f (1)+f (10)+f (100)=g (1)+g (10)+g (100).则方程f (x)＝g (x)的解x＝（ ）.
5．在四面体ABCD中,二面角B－AC－D是直二面角,AB＝BC＝CD,BD＝AC,二面角B－AD－C记为α,则cosα=（ ）.
二、（满分15分）整系数多项式f (x)满足f (1999)•f (2000)=2001,请你证明f (x)=0没有整数根.
三、（满分15分）已知二次函数f (x)满足f (-1)=0,并且对一切实数x,恒有x≤f (x)≤1/2(x2+1)试确定f (x)的表达式,并计算f (2001)的值.
四、（满分15）在四面体ABCD中,已知AB＝3,BC＝4,CD＝5,∠ABC＝45°,∠BCD＝90°,直线AB和CD所成的角等于60°,求棱AD的长.
五、（满分15分）在集合M＝｛2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,958,959,960｝中任意取出11个两两互质的自然数,证明：其中至少有一个是质数.