作业帮不等式证明 设n个正实数a1,a2,a3,...,an满足不等式(a1^2+a2^2+...+an^2)^2>(n-1)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 07:17:46
不等式证明 设n个正实数a1,a2,a3,...,an满足不等式(a1^2+a2^2+...+an^2)^2>(n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)(其
设n个正实数a1,a2,a3,...,an满足不等式(a1^2+a2^2+...+an^2)^2>(n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)(其中n>=3）求证：a1,a2...an中任何三数都是某三角形的边长
设x+y+z=19,则函数u=根号（x^2+4)+根号（y^2+9)+根号(z^2+16)的最小值为
设n个正实数a1,a2,a3,...,an满足不等式(a1^2+a2^2+...+an^2)^2>(n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)(其中n>=3）求证：a1,a2...an中任何三数都是某三角形的边长
设x+y+z=19,则函数u=根号（x^2+4)+根号（y^2+9)+根号(z^2+16)的最小值为
原问题可以这样简化：
题目中这n个正实数大小顺序不影响不等式成立,因此可以假设他们大小为从大到小排列
这样一来题目只需要证明an+a(n-1)＞a1即可.因为三正数为三角形边长的充要条件就是任意两边和大于第三边（当然也可以等价为较小两边的和大于第三边）.只要最小两个数的和大于最大的a1就行
构造函数f(x）=（a1^4+a2^4+...+an^4)x²+(a1^2+a2^2+...+an^2)x+ (n-1)/4
=(a1²x+1/2）²+（a2²x+1/2）²+……+（a²nx+1/2）²-1/4
则方程f(x)=0的判别式δ=(a1^2+a2^2+...+an^2)^2 - (n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)＞0
接下来只考虑f(x)＜0的部分
令a²ix=Ti,那么f(x)=(T1+1/2)²+……（Tn+1/2）²-1/4,
并且设b²n=1/4 -[（T1+1/2)²+……（Tn+1/2）²],bn＞0,这样方便下面描述
由不等式f（x）＜0,则可以得到（Tn+1/2）²＜b²（n-1）,所以Tn∈（-1/2-b(n-1),-1/2+b(n-1)）
由此可以知道x必然小于0,并且由a(n-1)＞an可以知道-1＜T(n-1)＜Tn＜0
所以[1/2+T1-T(n-1)]²-b²（n-1）= [（T1+1/2)²+……（Tn-1 +1/2)²】+[1/2+T1-T(n-1)]²-1/4
＞0
即1/2+T1-T(n-1)＞b(n-1),所以由Tn的范围可以知道T1-T（n-1）＞Tn
同除以x即得到a1-a(n-1)＜an,也就是an+a(n-1)＞a1
再问： 谢谢 虽然花了老半天时间看得差不多懂了 但感觉此思维难度好大 步步艰难 急求其他解法 请再看看这道题 求证：1/(n+1) (1+1/3+1/5+......+1/2n-1)>1/n (1/2+1/4+......+1/2n)(n>=2且为正数）
再答： 其实我感觉楼下这位的回答反而正确而且好懂，就采纳他的吧，毕竟柯西不等式还算容易证明 补充的题目做法是这样的：设 1+1/2+1/3+1/4+……+1/n =an 那么原题可以变为 1/(n+1) [a2n - 1/2 an ]＞1/2n an 进一步可以变为2n(a2n - an) ＞ an 而左边=2n[1/(n+1)+……+1/2n]＞2n × n/2n =n 右边＜n，所以容易证明
再问： 急问此步是怎么得来的？，(a1^2+a2^2+...+an^2)^2
题目中这n个正实数大小顺序不影响不等式成立,因此可以假设他们大小为从大到小排列
这样一来题目只需要证明an+a(n-1)＞a1即可.因为三正数为三角形边长的充要条件就是任意两边和大于第三边（当然也可以等价为较小两边的和大于第三边）.只要最小两个数的和大于最大的a1就行
构造函数f(x）=（a1^4+a2^4+...+an^4)x²+(a1^2+a2^2+...+an^2)x+ (n-1)/4
=(a1²x+1/2）²+（a2²x+1/2）²+……+（a²nx+1/2）²-1/4
则方程f(x)=0的判别式δ=(a1^2+a2^2+...+an^2)^2 - (n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)＞0
接下来只考虑f(x)＜0的部分
令a²ix=Ti,那么f(x)=(T1+1/2)²+……（Tn+1/2）²-1/4,
并且设b²n=1/4 -[（T1+1/2)²+……（Tn+1/2）²],bn＞0,这样方便下面描述
由不等式f（x）＜0,则可以得到（Tn+1/2）²＜b²（n-1）,所以Tn∈（-1/2-b(n-1),-1/2+b(n-1)）
由此可以知道x必然小于0,并且由a(n-1)＞an可以知道-1＜T(n-1)＜Tn＜0
所以[1/2+T1-T(n-1)]²-b²（n-1）= [（T1+1/2)²+……（Tn-1 +1/2)²】+[1/2+T1-T(n-1)]²-1/4
＞0
即1/2+T1-T(n-1)＞b(n-1),所以由Tn的范围可以知道T1-T（n-1）＞Tn
同除以x即得到a1-a(n-1)＜an,也就是an+a(n-1)＞a1
再问： 谢谢 虽然花了老半天时间看得差不多懂了 但感觉此思维难度好大 步步艰难 急求其他解法 请再看看这道题 求证：1/(n+1) (1+1/3+1/5+......+1/2n-1)>1/n (1/2+1/4+......+1/2n)(n>=2且为正数）
再答： 其实我感觉楼下这位的回答反而正确而且好懂，就采纳他的吧，毕竟柯西不等式还算容易证明 补充的题目做法是这样的：设 1+1/2+1/3+1/4+……+1/n =an 那么原题可以变为 1/(n+1) [a2n - 1/2 an ]＞1/2n an 进一步可以变为2n(a2n - an) ＞ an 而左边=2n[1/(n+1)+……+1/2n]＞2n × n/2n =n 右边＜n，所以容易证明
再问： 急问此步是怎么得来的？，(a1^2+a2^2+...+an^2)^2
不等式证明 设n个正实数a1,a2,a3,...,an满足不等式(a1^2+a2^2+...+an^2)^2>(n-1)
均值不等式推广的证明设a1,a2,a3...an是n个正实数,求证(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*
设数列｛an｝满足a1+2a2+3a3+.+nan=n(n+1)(n+2)
设a1,a2,a3.an都是正数,证明不等式(a1+a2+.+an)(1/a1+1/a2+.+1/an)≥n²
已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1
已知数列{an}满足a1+a2+a3+...+an=n^2+2n.(1)求a1,a2,a3,a4
设数列{an}满足a1+3a2+3^2a3+.3^n-1×an=n/3,a∈N+.
数列不等式已知an=2^n-1 前一个n为下标求证：a1/a2+a2/a3+a3/a4+.+an/a(n+1) 最后一个
高二柯西不等式设a1,a2,...an是一串互不相等的正整数证明对一切自然数n都有（a1/1^2）+（a2/2^2）+.
设数列AN满足A1+3A2+3^2A3+...+3^N-IAN=N/3,
设数列{An}满足A1+3A2+3^2*A3+...+3^(n-1)*An=n/3,a属于正整数.
数列{an}满足：1/a1+2/a2+3/a3+…+n/an=2n