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已知函数fx=2ax^+4-3-a a属于r 当a=1时 函数fx在-1 1上的最大值

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/12 15:42:56
已知函数fx=2ax^+4-3-a a属于r 当a=1时 函数fx在-1 1上的最大值
a = 1,f(x) = 2x/(x² +1)
f'(x) = [2(x²+1) -2x(2x)]/(x²+1) = 2(1 -x²)/(x²+1)
f'(0) = 2
在原点处的切线方程:y - 0 = f'(0)(x - 0) = 2x
y = 2x
(2)
(i) a = 0
f(x) = -1/(x² +1)
f'(x)= 2x/(x² +1)
x < 0:f'(x) < 0,减函数
x >0:f'(x) > 0,增函数
(ii) a ≠ 0
f'(x) = [2a(x² +1) - (2ax + a² -1)(2x)]/(x² +1)
= [-2ax² -2(a² -1)x+2a]/(x² +1)²
分母总为正,现在只考虑分子.
g(x) = -2ax² -2(a² -1)x+2a = -2a[x² + (a - 1/a)x -1]
= -2a(x + a)(x - 1/a) = 0
x1 = -a
x2 = 1/a
(a) a< 0:
g(x)为开口向上的抛物线
x > -a或x < 1/a时,f'(x) > 0,增函数
1/a < x < -a时,f'(x) < 0,减函数
(b) a > 0:
g(x)为开口向下的抛物线
1/a < x < -a时,1/a < x < -a时,
x > -a或x < 1/a时,f'(x) < 0,减函数
(3)
(i) a = 0时,f(x)只有最小值,不成立
(ii)要使f(x)在[0,+无穷)上存在最大值和最小值,须x1,x2均在此区间内,即二者同号,这显然不可能.