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设f(x)是定义在R上的函数且对任意x,y属于R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x>0时,0

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/20 05:50:44
设f(x)是定义在R上的函数且对任意x,y属于R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x>0时,0（1）f(0)=1,且x<0时,f(x)>1
(2）f(x)是R上的单调减函数
证明：
(1)令x=y=0,则
f(0)=f(0)f(0)
∴f(0)=0或f(0)=1
∵f(x)在x∈R上是正的
∴f(0)=1
令y=-x,则
f(x-x)=f(x)f(-x)
∴f(-x)=1/f(x),或者f(x)=-f(-x)
当x＜0时,f(x)=-f(-x)
而-x＞0,即f(-x)∈(0,1)
∴f(x)=-f(-x)＞1
得证
(2)任意取m＞n,由于是函数的值是正数
∴f(m)/f(n)=f(m-n)
∵m-n＞0
∴f(m-n)∈(0,1)
即0＜f(m)/f(n)＜1
∴0＜f(m)＜f(n)
∴f(x)是R上的减函数
得证
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