作业帮一道立体几何题[用向量法]
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 08:26:11
一道立体几何题[用向量法]
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE
如图,建立空间直角坐标系
设正方体的棱长为1
则D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),E(1/2,1,0)
设点P的坐标为(0,1,a)
∴向量A1B1＝(0,1,0),向量A1P＝(－1,1,a－1),向量DE＝(1/2,1,0),向量DC1＝(0,1,1)
设平面A1B1P的一个法向量为n1＝(x1,y1,z1)
则有：
{n1•A1B1＝0
{n1•A1P＝0
即有：
{y1＝0
{－x1＋y1＋(a－1)z1＝0
令z1＝1,得x1＝a－1
∴平面A1B1P的一个法向量为n1＝(a－1,0,1)
设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2,y2,z2)
则有：
{n2•DE＝0
{n2•DC1＝0
即有：
{1/2x2＋y2＝0
{y2＋z2＝0
∴x2＝－2y2,z2＝－y2
取y2＝1,则得x2＝－2,z2＝－1
∴平面C1DE的一个法向量为n2＝(－2,1,－1)
∵平面A1B1P⊥平面C1DE
∴n1⊥n2
即n1•n2＝0
=>－2(a－1)－1＝0
解得a＝1/2
故当点P为CC1的中点时,平面A1B1P⊥平面C1DE
设正方体的棱长为1
则D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),E(1/2,1,0)
设点P的坐标为(0,1,a)
∴向量A1B1＝(0,1,0),向量A1P＝(－1,1,a－1),向量DE＝(1/2,1,0),向量DC1＝(0,1,1)
设平面A1B1P的一个法向量为n1＝(x1,y1,z1)
则有：
{n1•A1B1＝0
{n1•A1P＝0
即有：
{y1＝0
{－x1＋y1＋(a－1)z1＝0
令z1＝1,得x1＝a－1
∴平面A1B1P的一个法向量为n1＝(a－1,0,1)
设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2,y2,z2)
则有：
{n2•DE＝0
{n2•DC1＝0
即有：
{1/2x2＋y2＝0
{y2＋z2＝0
∴x2＝－2y2,z2＝－y2
取y2＝1,则得x2＝－2,z2＝－1
∴平面C1DE的一个法向量为n2＝(－2,1,－1)
∵平面A1B1P⊥平面C1DE
∴n1⊥n2
即n1•n2＝0
=>－2(a－1)－1＝0
解得a＝1/2
故当点P为CC1的中点时,平面A1B1P⊥平面C1DE