（2014•沂水县二模）在特殊四边形的复习课上，王老师出了这样一道题：

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/14 20:09:00

（2014•沂水县二模）在特殊四边形的复习课上，王老师出了这样一道题：
问题情境：
如图2，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，连接EG，HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC，试探究：EG与FH的数量关系．
经过小组讨论后，小聪建议分以下两步进行，请你解答：
（1）特殊情况，探索结论
当菱形ABCD是正方形时（如图1），EG与FH有怎样的数量关系呢？
小聪想：要求EG与FH的数量关系，就要构造全等三角形或相似三角形，于是，分别过点G、H作GM⊥AB于点M，HN⊥BC于点N，在△HNF和△GME中，有∠GME=∠HNF=Rt∠，由正方形的性质可得GM=HN，能否从已知条件得到∠MGE=∠NHF呢？请你根据小聪的思路完成解答过程；
（2）特例启发，解答题目
猜想：原题中EG与FH的数量关系是______，并说明理由．
（3）反思提升，拓展延伸
课后小聪对本题作了反思，提出了如下猜想：将题目中的菱形ABCD改为▱ABCD（如图3），AB=a，AD=b，其他条件不变，则

＝

（1）EG=FH，
理由是：如图1，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，

∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=AB，AD∥BC，DC∥AB，AD=BC，∠D=∠A=∠B=∠C=90°，
∴GM∥AD∥BC，HN∥DC∥AB，
∴四边形ADGM、四边形GMBC、四边形AHNB，四边形DCNH是平行四边形，
∴DC=HN=AB，AD=GM=BC，
∴HN=GM，
∵∠ADC=∠HOE=90°，
∴∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
∵HN⊥BC，GM⊥AB，
∴∠GME=∠HNF=90°，
在△GME和△HNF中

∠GEM＝∠HFN
∠GME＝∠HNF
GM＝HN
∴△GME≌△HNF，
∴EG=FH；
（2）EG=FH，
理由是：如图2，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，

∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=AB=BC，AD∥BC，DC∥AB，
∵菱形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN，
∴GM=HN，
∵GM⊥AB，HN⊥BC，∴∠GME=∠HNF=90°，
∵∠ADC=∠HOE，
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°
∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
在△GME和△HNF中

∠GEM＝∠HFN
∠GME＝∠HNF
GM＝HN，
∴△GME≌△HNF（AAS），
∴EG=FH．
（3）正确
理由是：如图3，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵平行四边形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN，
∵AB=a，AD=b，
∴
GM
HN＝
b
a，
∵GM⊥AB，HN⊥BC，
∴∠GME=∠HNF=90°，
∵∠ADC=∠HOE，
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，
∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
∴△GME∽△HNF，
∴
EG
FH＝
GM
HN＝
b
a．

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