作业帮概率论 关于方差和数学期望的基本性质的一个问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 23:49:32
概率论 关于方差和数学期望的基本性质的一个问题
我们知道对于任意常数C有E（C）=C
那么如果对于任意常数XY是否有E（XY）=XY=E（X）E（Y）?
如果是的话就有以下问题了,对于任意两个随机变量X和Y有
D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E｛E（XY）-E（X）E（Y）｝,特别的,当X和Y独立时有D（X+Y）=D（X）+D（Y）,如果上述成立的话独立性不久混淆了吗?
我知道之前说的X和Y是常数,而现在说的X和Y是变量,但是证明D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E｛E（XY）-E（X）E（Y）｝的时候就把X和Y当作了常数来看待,所以有X=E（X）,Y=E（Y）,才有了XY=E（XY）才能得到上述结论,我纠结的地方就是在于这里,为什么XY不能等价成E（X）E（Y）,反正X和Y不都是常数么,为什么不能分开分别进行变化?
我们知道对于任意常数C有E（C）=C
那么如果对于任意常数XY是否有E（XY）=XY=E（X）E（Y）?
如果是的话就有以下问题了,对于任意两个随机变量X和Y有
D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E｛E（XY）-E（X）E（Y）｝,特别的,当X和Y独立时有D（X+Y）=D（X）+D（Y）,如果上述成立的话独立性不久混淆了吗?
我知道之前说的X和Y是常数,而现在说的X和Y是变量,但是证明D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E｛E（XY）-E（X）E（Y）｝的时候就把X和Y当作了常数来看待,所以有X=E（X）,Y=E（Y）,才有了XY=E（XY）才能得到上述结论,我纠结的地方就是在于这里,为什么XY不能等价成E（X）E（Y）,反正X和Y不都是常数么,为什么不能分开分别进行变化?
我觉得楼主概念有错误,两个随机变量之和的方差公式是D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E｛E（XY）-E（X）E（Y）｝是没错的,或者确切地说,是D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2｛E（XY）-E（X）E（Y）｝,大括号就是随机变量（不一定是常数）的协方差cov（X,Y）.而且,楼主说当两个随机变量相互独立时,D（X+Y）=D（X）+D（Y）也是完全正确的.但是,接下来逻辑就有错误了,两个随机变量独立时的公式D（X+Y）=D（X）+D（Y）是由原始公式D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E｛E（XY）-E（X）E（Y）｝得来的,但是一定是因为“把X和Y看成常数来对待”得到的吗?这是关键.实际上,当两个随机变量X和Y独立时,就有公式E（XY）= E（X）E（Y）,从而有“当随机变量X和Y独立时,D（X+Y）=D（X）+D（Y）”这样一个结论.
再问：
我用红笔标出的部分就是我的疑问所在X=E（X）是因为把X当成了常数来处理，同样的，XY变成E（XY）也是这个原因，那么对于常数XY，我们可不可以把它变成E（X）E（Y）？因为XY分别为常数
再答： 请楼主仔细看证明过程（就是你用红色粗线标记的两行），第一个等号后边大括号中的几项外面是有“E”的，也就是求期望运算。但是第二个等号后边大括号外面已经没有求期望运算“E”了，这时候已经将求期望运算作用到每一项了。而不是你理解的 E(X)=X, E(Y)=Y 以及E(XY)=XY。 下面回答你的第二个小疑问，就是“那么对于常数XY，我们可不可以把它变成E（X）E（Y）？”。答案是肯定的，这时候对于常数求期望等于常数本身，所以E(XY)=XY=x*Y=E(X)*E(Y) （因为均为常数，所以此时满足 E(X)=X, E(Y)=Y 以及E(XY)=XY）。
再问：
我用红笔标出的部分就是我的疑问所在X=E（X）是因为把X当成了常数来处理，同样的，XY变成E（XY）也是这个原因，那么对于常数XY，我们可不可以把它变成E（X）E（Y）？因为XY分别为常数再答： 请楼主仔细看证明过程（就是你用红色粗线标记的两行），第一个等号后边大括号中的几项外面是有“E”的，也就是求期望运算。但是第二个等号后边大括号外面已经没有求期望运算“E”了，这时候已经将求期望运算作用到每一项了。而不是你理解的 E(X)=X, E(Y)=Y 以及E(XY)=XY。 下面回答你的第二个小疑问，就是“那么对于常数XY，我们可不可以把它变成E（X）E（Y）？”。答案是肯定的，这时候对于常数求期望等于常数本身，所以E(XY)=XY=x*Y=E(X)*E(Y) （因为均为常数，所以此时满足 E(X)=X, E(Y)=Y 以及E(XY)=XY）。