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是否存在常数p、q使得x4+px2+q能被x2+2x+5整除?如果存在,求出p、q的值,否则请说明理由.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/04 11:57:21
是否存在常数p、q使得x4+px2+q能被x2+2x+5整除?如果存在,求出p、q的值,否则请说明理由.
假设存在,则说明x4+px2+q能被x2+2x+5整除,
可设另一个因式是x2+mx+n,
∴(x2+2x+5)(x2+mx+n)=x4+px2+q,
即有
x4+(m+2)x3+(n+2m+5)x2+(2n+5m)x+5n=x4+px2+q,


m+2=0
n+2m+5=p且

2n+5m=0
5n=q
解上面的方程组,得

m=−2
n=5
p=6
q=25,
∴存在常数p、q使得x4+px2+q能被x2+2x+5整除.
故所求p=6,q=25.