作业帮【数学函数单调性】用定义证明f(x)=In(1+e^x)+x在R上单调递增
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 09:09:51
【数学函数单调性】用定义证明f(x)=In(1+e^x)+x在R上单调递增
设任意x1＜x2 x1、x2∈R 主要是f(x1)、f(x2)相减后化简问题~对数怎么化成全乘积进行判断~
设任意x1＜x2 x1、x2∈R 主要是f(x1)、f(x2)相减后化简问题~对数怎么化成全乘积进行判断~
令x10
f(x2)-f(x1)
=ln(1+e^x2)+x2-ln(1+e^x1)-x1
=ln[(1+e^x2)/(1+e^x1)]+(x2-x1)
因为e^x是增函数,所以e^x2>e^x1
1+e^x2>1+e^x1>0
(1+e^x2)/(1+e^x1)>1
ln x也是增函数
ln[(1+e^x2)/(1+e^x1)]>ln 1=0
所以f(x2)-f(x1)>x2-x1>0
所以f(x)在R上单调增
再问： =ln[(1+e^x2)/(1+e^x1)]+(x2-x1) 化到这一步就可以了、？我也化出来勒，不用全化成乘积么
再答： 为什么需要呢？只需要证f(x2)-f(x1)>0即可 不需要一定得=g(x1,x2)*(x2-x1)的，没这个规定的 其次也化不成乘积的 推荐答案那个还是用到了e^x是单调增函数，以及lnx是单调增函数 没有任何区别 只是看着有x2-x1而已 因为e^x2=e^(x2-x1+x1)=e^(x2-x1)*e^x1 (由x^(a+b)=x^a*x^b)
f(x2)-f(x1)
=ln(1+e^x2)+x2-ln(1+e^x1)-x1
=ln[(1+e^x2)/(1+e^x1)]+(x2-x1)
因为e^x是增函数,所以e^x2>e^x1
1+e^x2>1+e^x1>0
(1+e^x2)/(1+e^x1)>1
ln x也是增函数
ln[(1+e^x2)/(1+e^x1)]>ln 1=0
所以f(x2)-f(x1)>x2-x1>0
所以f(x)在R上单调增
再问： =ln[(1+e^x2)/(1+e^x1)]+(x2-x1) 化到这一步就可以了、？我也化出来勒，不用全化成乘积么
再答： 为什么需要呢？只需要证f(x2)-f(x1)>0即可 不需要一定得=g(x1,x2)*(x2-x1)的，没这个规定的 其次也化不成乘积的 推荐答案那个还是用到了e^x是单调增函数，以及lnx是单调增函数 没有任何区别 只是看着有x2-x1而已 因为e^x2=e^(x2-x1+x1)=e^(x2-x1)*e^x1 (由x^(a+b)=x^a*x^b)
【数学函数单调性】用定义证明f(x)=In(1+e^x)+x在R上单调递增
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