作业帮用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 14:40:24
用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．
证明：取△ABC最长一边BC所在的直线为X轴，经过A的高线为Y轴，设A、B、C的坐标分别为A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），根据所选坐标系，如图，有a＞0，b＜0，c＞0，AB的方程为
x
b+
y
a＝1，其斜率为−
a
b，AC的方程为
x
c+
y
a＝1，其斜率为−
a
c，高线CE的方程为y＝
b
a(x−c)(1)高线BD的方程为y＝
c
a(x−b)(2)．
解（1）、（2），得：（b-c）x=0
∵b-c≠0∴x=0
即高线CE、BD的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO上．
因此，三条高线交于一点．
x
b+
y
a＝1，其斜率为−
a
b，AC的方程为
x
c+
y
a＝1，其斜率为−
a
c，高线CE的方程为y＝
b
a(x−c)(1)高线BD的方程为y＝
c
a(x−b)(2)．
解（1）、（2），得：（b-c）x=0
∵b-c≠0∴x=0
即高线CE、BD的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO上．
因此，三条高线交于一点．