已知函数f（x）=x2+2x，数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）的图象上，

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 00:26:24

已知函数f（x）=x²+2x，数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b

（Ⅰ）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，
∴Sn＝n2+2n．
当n=1时，a₁=S₁=3；
当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝n2+2n−(n−1)2−2(n−1)＝2n+1，
当n=1时，也满足．
故a_n=2n+1．
（Ⅱ）由f（x）=x²+2x求导可得，f′（x）=2x+2
∵过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n，∴k_n=2n+2．
又∵bn＝2kn•an，
∴bn＝22n+2•(2n+1)＝4(2n+1)•4n．
∴Tn＝4×3×4+4×5×42+4×7×43+…+4（2n+1）•4ⁿ…①
由①×4可得：4Tn＝4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4（2n+1）•4ⁿ⁺¹…②
①-②可得：−3Tn＝4•[3×4+2•(42+43+…+4n)-（2n+1）•4ⁿ⁺¹]
=4•[3×4+2•
42(1−4n−1)
1−4-（2n+1）•4ⁿ⁺¹]．
∴Tn＝
6n+1
9•4n+2−
16
9．
（Ⅲ）∵Q={x|x=2n+2，n∈N^*}，R={x|x=4n+2，n∈N^*}
∴Q∩R=R，又∵c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，
∴c₁=6，∴c₁₀=4m+6，m∈N^*，（{c_n}的公差是4 的倍数!）
又∵110<c₁₀<115
∴

110<4m+6<115
m∈N*.解得m=27，
∴{c_n}的公差是12，
∴c_n=12n-6．