证明：矩阵AB=BA的充要条件是它们的特征值相等.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/17 22:57:18

只需证明：若λ是AB的特征值,则λ也是BA的特征值.分两种情况：
(1)λ≠0.由λ是AB的特征值,存在非零向量x使得ABx=λx.所以BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λBx,且Bx≠0（否则λx=ABx=0,得λ=0,矛盾）.这说明Bx是BA的对应于特征值λ的特征向量,特别地λ也是BA的特征值.
(2)λ=0.此时存在非零向量x使得ABx=λx=0,所以AB不满秩,知det(AB)=0.从而det(BA)=det(AB)=0,BA不满秩,所以存在非零向量x使得BAx=0=λx.这说明λ=0也是BA的特征值.
证毕.
再问：谢谢~\(≧▽≦)/~
再答：恩

证明：矩阵AB=BA的充要条件是它们的特征值相等. 设A,B是n阶实矩阵,A的特征值互逆,证明矩阵AB=BA的充要条件为A的特征值都是B的特征值设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA. 若AB都为n阶对称矩阵,证明AB扔为对称矩阵的充要条件是AB等于BA 1、证明对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的特征值都是正数! 证明实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的特征值都是正数设A是n阶正定矩阵,AB是n阶实对称矩阵,证明AB正定的充要条件是B的特征值全大于零设AB是两个反对称矩阵,证明AB是对称矩阵充要条件是AB=BA 设A,B 分别是m*n,n*m矩阵,证明：AB和BA有相同的非零特征值. “矩阵等价的充要条件是它们类型相同且秩相等”这个命题是不是错的?如果正确这么证明? A是正规矩阵,证明A为酉矩阵的充要条件是A的特征值的模都是1 证明：若A是正定矩阵（A一定是对称矩阵）的充要条件是所有特征值大于0