作业帮有关正弦定理、余弦定理和解斜三角形的问题之二
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 07:44:50
有关正弦定理、余弦定理和解斜三角形的问题之二
已知：tan[(A-B)/2]=(a-b)/(a+b),试判断三角形的形状!
是否能不通过和差化积公式求得？
已知：tan[(A-B)/2]=(a-b)/(a+b),试判断三角形的形状!
是否能不通过和差化积公式求得？
解析：由正弦定理等式转换为：
tan[(A-B)/2]=(sinA-sinB)/(sinA+sin)
由三角函数的和差化积的公式得：
sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]·sin[(A-B)/2]=2sin(C/2)·sin[(A-B)/2]
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]·cos[(A-B)/2]=2cos(C/2)·cos[(A-B)/2]
因此等式变换为：
tan[(A-B)/2]=tan(C/2)·tan[(A-B)/2]
所以
[tan(C/2)-1]·tan[(A-B)/2]=0
所以tan(C/2)=1或tan[(A-B)/2]=0
即C=90°或A=B
所以△ABC为直角三角形或等腰三角形.
tan[(A-B)/2]=(sinA-sinB)/(sinA+sin)
由三角函数的和差化积的公式得：
sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]·sin[(A-B)/2]=2sin(C/2)·sin[(A-B)/2]
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]·cos[(A-B)/2]=2cos(C/2)·cos[(A-B)/2]
因此等式变换为：
tan[(A-B)/2]=tan(C/2)·tan[(A-B)/2]
所以
[tan(C/2)-1]·tan[(A-B)/2]=0
所以tan(C/2)=1或tan[(A-B)/2]=0
即C=90°或A=B
所以△ABC为直角三角形或等腰三角形.