作业帮设f（x）在[a，b]上二阶可导，且f″（x）＜0，证明：∫ba
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 16:48:30
设f（x）在[a，b]上二阶可导，且f″（x）＜0，证明：
| ∫ | b a |
证明：∀x，t∈[a，b]，将f（x）在t处展开，可得
f(x)＝f(t)+f′(t)(x−t)+
f″(ξ)
2!(x−t)2．
因为f″（x）＜0，所以有：
f（x）≤f（t）+f′（t）（x-t）．
令t＝
a+b
2，则有
f(x)≤f(
a+b
2)+f′(
a+b
2)(x−
a+b
2)．
将不等式两边从a到b积分可得，
∫baf(x)dx≤
∫baf(
a+b
2)dx+
∫baf′(
a+b
2)(x−
a+b
2)dx
=(b−a)f(
a+b
2)+f′(
a+b
2)[
1
2(x−
a+b
2)2]
|ba
=(b−a)f(
a+b
2)．
f(x)＝f(t)+f′(t)(x−t)+
f″(ξ)
2!(x−t)2．
因为f″（x）＜0，所以有：
f（x）≤f（t）+f′（t）（x-t）．
令t＝
a+b
2，则有
f(x)≤f(
a+b
2)+f′(
a+b
2)(x−
a+b
2)．
将不等式两边从a到b积分可得，
∫baf(x)dx≤
∫baf(
a+b
2)dx+
∫baf′(
a+b
2)(x−
a+b
2)dx
=(b−a)f(
a+b
2)+f′(
a+b
2)[
1
2(x−
a+b
2)2]
|ba
=(b−a)f(
a+b
2)．
设f（x）在[a，b]上二阶可导，且f″（x）＜0，证明：∫ba
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f''(x)>0,证明:函数F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)在(a,b]
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设f(x)在[a,b]上有二阶导数,且f''(x)>0,证明：函数F(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a) 在(a,
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【中值定理证明题】设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)f(b)>0,f(a)f((a+b)/
设函数f(x）在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f'(x)≤0,F(X)=1\(x-a)·∫＜a,x＞f(t)
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设f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数,且f'(a)f'(b)>0试证明
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