求大神给一下4个题的证明过程（详解）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/02 19:04:15

求大神给一下4个题的证明过程（详解）
1.∫(0,2π)sinαx sinβxdx=∫(-π,π)sinαx sinβxdx={π(α=β),0(α≠β)}
2.∫(0,2π)cosαx cosβxdx=∫(-π,π)cosαx cosβxdx={π(α=β),0(α≠β)}
3.∫(0,2π)sinαx cosβxdx=∫(-π,π)sinαx cosβxdx=0
4.∫(-π,π)f(x)dx=1/2∫(-π,π)[f(x)+f(-x)]dx

嘛 1,2,3题的证法都一样我就选其中一个吧 1.
cos(a+b)x=cosaxcosbx-sinaxsinb x
cos(a-b)x=cosaxcosbx+sinaxsinbx
sinaxsinbx=1/2[cos(a-b)x-cos(a+b)x]
∫(0,2π)sinαx sinβxdx=∫(-π,π)sinαx sinβxdx 这不用证了吧
∫(0,2π)sinαx sinβxdx=∫(0,2π)1/2[cos(a-b)x-cos(a+b)x]dx
=∫(0,2π)1/2cos(a-b)x dx-∫(0,2π)1/2cos(a+b)x]dx
我们知道 ∫(0,2π)cos nx dx=0 ∫(0,2π)sin nx dx=0
所以
∫(0,2π)1/2cos(a-b)x dx-∫(0,2π)1/2cos(a+b)x]dx=0 {(a+b)≠0 或(a-b)≠0}
若 a+b=0 时原式=-π a-b=0时原式=π
你的题目应该是要求a b 是同号的吧!所以就只有a=b 而没有a=-b
第4题
左边的先忽略吧
右边 1/2∫(-π,π)[f(x)+f(-x)]dx 我们只要证明1/2∫(-π,π)f(x)dx=1/2∫(-π,π)f(-x)dx 即可
1/2∫(-π,π)f(-x)dx
令t=-x dt=-dx
∴1/2∫(-π,π)f(-x)dx=1/2∫(π,-π)f(t)-dt=1/2∫(π,-π)-f(t)dt=1/2∫(-π,π)f(t)dt=1/2∫(-π,π)f(x)dx
∴右边=∫(-π,π)f(x)dx
再问： ∫(0,2π)cos nx dx=0 ∫(0,2π)sin nx dx=0？？？这个结论是哪里的。

再答： ...我无语了亲。。。

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