作业帮求,空间向量解立体几何例题,急.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/06 07:04:42
求,空间向量解立体几何例题,急.
例1. 已知点A（2,3,0）、B（－1,0,2）、C（0,1,1）,求平面ABC的法向量.
解析：向量AB=（-3,-3,2）,AC=（-2,-2,1）,
设平面ABC的法向量为n=（x,y,z）
则n与AB,AC都垂直,得方程组
,解得
从而n=（x,-x,0）,可取一个法向量为n=（1,-1,0）
2. 求证A（3,0,5）,B（2,3,0）,C（0,5,0）,D（1,2,5）四点共面.
解析：
法一：AB=（-1,3,-5）,AC=（-3,5,-5）,AD=（-2,2,0）
设AD=xAB+yAC,得方程组,解得
由共面向量定理,四点共面.
法二：AB=（-1,3,-5）,AC=（-3,5,-5）
设平面ABC的法向量为n=（x,y,z）
则n与AB,AC都垂直,得方程组
,解得
从而可取一个法向量为n=（5,5,2）
n=（5,5,2）与AD=（-2,2,0）的数量积为0.从而n与AD垂直
说明AD与AB,AC共面,
又有公共点A,所以四点共面.
法三：AB=（-1,3,-5）,CD=（1,-3,5）
AB,CD平行,所以四点共面.
注意：法一中方程组要用两个方程解,一个方程验.在向量共面的基础上再利用有公共点得出四点共面.
3．在正方体中,求证：是平面的法向量.
解析：
法一：,因此是平面的法向量.
法二：如图建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1.
则A（1,0,0）,B1（1,1,1）,C（0,1,0）,
D（0,0,0）,D1（0,0,1）
向量AD1=（-1,0,1）,AC=（-1,1,0）,
设平面的法向量为n=（x,y,z）,则得方程组
,解得
从而可取一个法向量为n=（1,1,1）
另一方面,DB1=（1,1,1）
因此是平面的法向量.
4．用向量法证明：如果两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行．
已知：直线OA⊥平面α,直线BD⊥平面α,O、B为垂足．
求证：OA//BD．
证明：以点O为原点,以射线OA为非负z轴,
建立空间直角坐标系O-xyz,i,j,k为沿x轴,y轴,z轴的坐标向量,
且设＝．
∵BD⊥α,∴⊥i,⊥j,
∴·i＝·(1,0,0)＝x＝0,
·j＝·(0,1,0)＝y＝0,
∴＝(0,0,z)．∴＝zk,即//k．
由已知O、B为两个不同的点,∴OA//BD．
5．如图正方体ABCD-中,E、F、G分别是、AB、BC的中点．
（1）证明：⊥EG；
（2）证明：⊥平面AEG；
（3）求,
解析：以D为原点,DA、DC、所在的直线分别为x、y、z轴,
建立空间直角坐标系,设正方体棱长为a,
则D（0,0,0）,A（a,0,0）,B（a,a,0）,（0,0,a）,
E（a,a,）,F（a,0）,G（,a,0）．
（1）,-a）,0,
∵,
∴．
（2）,a,）,
∴．
∴,∵,
∴平面AEG．
（3）由,a,）,＝（a,a,）
6．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点,求证：平面A1EF∥平面B1MC．
证明：如图建立空间直角坐标系,
则＝（－1,1,0）,＝（－1,0,－1）
＝（1,0,1）, ＝（0,－1,－1）
设,
（、、,且均不为0）
设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量,
由可得,即
解得：＝（1,1,－1）
由可得,即
解得＝（－1,1,－1）,所以＝－, ∥,
所以平面A1EF∥平面B1MC．
注意：如果求证的是两个平面垂直,也可以求出两个平面的法向量后,利用⊥来证明．
7．在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角．
（1）若AE⊥PD,E为垂足,求证：BE⊥PD；
（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．
解析：
（1）证明：∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,
又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．
又∵AE⊥PD,∴PD⊥平面ABE,
故BE⊥PD．
（2）以A为原点,AB、AD、AP所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,
则点C、D的坐标分别为（a,a,0）,（0,2a,0）．
∵PA⊥平面ABCD,∠PDA是PD与底面ABCD所成的角,∴∠PDA=30°．
于是,在Rt△AED中,由AD=2a,得AE=a．
过E作EF⊥AD,垂足为F,
在Rt△AFE中,由AE=a,∠EAF=60°,得AF=,EF=a,
∴E（0,a）
于是,=（－a,a,0）
设与的夹角为θ,则由
cosθ=
AE与CD所成角的余弦值为．
注意：第（2）小题中,以向量为工具,利用空间向量坐标及数量积,求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段．
8. 已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2, 底面ABCD是直角梯形,∠A是直角,AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线与DC所成角的大小.
解析：如图,以D为坐标原点,
分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系.
则C1（0,1,2）,B（2,4,0）
所成的角为,
则
∴异面直线BC1与DC所成角的大小为
9．如图,已知是边长为4的正方形,E,F分别是AB,AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,试在平面上找一点,使得是平面的法向量.
解析：如图所示建立空间直角坐标系,
则.
,
.
∵点,
,
∴．
是平面的法向量的充要条件是．
∴解之,得
∴,
即．
10. 如图,直三棱柱ABC-,底面ΔABC中,CA=CB=1,∠BCA=,棱=2,M、N分别是、的中点．
（1）求的长；
（2）求,的值；
（3）求证．
解析：如图,以C为原点建立空间直角坐标系O．
（1）依题意得B,N,
∴．
（2）依题意得,B,C,．
∴,．
,．
∴．
（3）证明：
依题意得：
,M,
∴,∴．
解析：向量AB=（-3,-3,2）,AC=（-2,-2,1）,
设平面ABC的法向量为n=（x,y,z）
则n与AB,AC都垂直,得方程组
,解得
从而n=（x,-x,0）,可取一个法向量为n=（1,-1,0）
2. 求证A（3,0,5）,B（2,3,0）,C（0,5,0）,D（1,2,5）四点共面.
解析：
法一：AB=（-1,3,-5）,AC=（-3,5,-5）,AD=（-2,2,0）
设AD=xAB+yAC,得方程组,解得
由共面向量定理,四点共面.
法二：AB=（-1,3,-5）,AC=（-3,5,-5）
设平面ABC的法向量为n=（x,y,z）
则n与AB,AC都垂直,得方程组
,解得
从而可取一个法向量为n=（5,5,2）
n=（5,5,2）与AD=（-2,2,0）的数量积为0.从而n与AD垂直
说明AD与AB,AC共面,
又有公共点A,所以四点共面.
法三：AB=（-1,3,-5）,CD=（1,-3,5）
AB,CD平行,所以四点共面.
注意：法一中方程组要用两个方程解,一个方程验.在向量共面的基础上再利用有公共点得出四点共面.
3．在正方体中,求证：是平面的法向量.
解析：
法一：,因此是平面的法向量.
法二：如图建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1.
则A（1,0,0）,B1（1,1,1）,C（0,1,0）,
D（0,0,0）,D1（0,0,1）
向量AD1=（-1,0,1）,AC=（-1,1,0）,
设平面的法向量为n=（x,y,z）,则得方程组
,解得
从而可取一个法向量为n=（1,1,1）
另一方面,DB1=（1,1,1）
因此是平面的法向量.
4．用向量法证明：如果两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行．
已知：直线OA⊥平面α,直线BD⊥平面α,O、B为垂足．
求证：OA//BD．
证明：以点O为原点,以射线OA为非负z轴,
建立空间直角坐标系O-xyz,i,j,k为沿x轴,y轴,z轴的坐标向量,
且设＝．
∵BD⊥α,∴⊥i,⊥j,
∴·i＝·(1,0,0)＝x＝0,
·j＝·(0,1,0)＝y＝0,
∴＝(0,0,z)．∴＝zk,即//k．
由已知O、B为两个不同的点,∴OA//BD．
5．如图正方体ABCD-中,E、F、G分别是、AB、BC的中点．
（1）证明：⊥EG；
（2）证明：⊥平面AEG；
（3）求,
解析：以D为原点,DA、DC、所在的直线分别为x、y、z轴,
建立空间直角坐标系,设正方体棱长为a,
则D（0,0,0）,A（a,0,0）,B（a,a,0）,（0,0,a）,
E（a,a,）,F（a,0）,G（,a,0）．
（1）,-a）,0,
∵,
∴．
（2）,a,）,
∴．
∴,∵,
∴平面AEG．
（3）由,a,）,＝（a,a,）
6．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点,求证：平面A1EF∥平面B1MC．
证明：如图建立空间直角坐标系,
则＝（－1,1,0）,＝（－1,0,－1）
＝（1,0,1）, ＝（0,－1,－1）
设,
（、、,且均不为0）
设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量,
由可得,即
解得：＝（1,1,－1）
由可得,即
解得＝（－1,1,－1）,所以＝－, ∥,
所以平面A1EF∥平面B1MC．
注意：如果求证的是两个平面垂直,也可以求出两个平面的法向量后,利用⊥来证明．
7．在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角．
（1）若AE⊥PD,E为垂足,求证：BE⊥PD；
（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．
解析：
（1）证明：∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,
又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．
又∵AE⊥PD,∴PD⊥平面ABE,
故BE⊥PD．
（2）以A为原点,AB、AD、AP所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,
则点C、D的坐标分别为（a,a,0）,（0,2a,0）．
∵PA⊥平面ABCD,∠PDA是PD与底面ABCD所成的角,∴∠PDA=30°．
于是,在Rt△AED中,由AD=2a,得AE=a．
过E作EF⊥AD,垂足为F,
在Rt△AFE中,由AE=a,∠EAF=60°,得AF=,EF=a,
∴E（0,a）
于是,=（－a,a,0）
设与的夹角为θ,则由
cosθ=
AE与CD所成角的余弦值为．
注意：第（2）小题中,以向量为工具,利用空间向量坐标及数量积,求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段．
8. 已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2, 底面ABCD是直角梯形,∠A是直角,AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线与DC所成角的大小.
解析：如图,以D为坐标原点,
分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系.
则C1（0,1,2）,B（2,4,0）
所成的角为,
则
∴异面直线BC1与DC所成角的大小为
9．如图,已知是边长为4的正方形,E,F分别是AB,AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,试在平面上找一点,使得是平面的法向量.
解析：如图所示建立空间直角坐标系,
则.
,
.
∵点,
,
∴．
是平面的法向量的充要条件是．
∴解之,得
∴,
即．
10. 如图,直三棱柱ABC-,底面ΔABC中,CA=CB=1,∠BCA=,棱=2,M、N分别是、的中点．
（1）求的长；
（2）求,的值；
（3）求证．
解析：如图,以C为原点建立空间直角坐标系O．
（1）依题意得B,N,
∴．
（2）依题意得,B,C,．
∴,．
,．
∴．
（3）证明：
依题意得：
,M,
∴,∴．