设a>0,{Xn}满足X0>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn) ,n+1是下标,n=0,1,2...,证明：{Xn}

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 20:53:37

设a>0,{Xn}满足X0>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn) ,n+1是下标,n=0,1,2...,证明：{Xn}收敛,求(n趋向无穷) lim Xn

证明：
∵x(0)>0且x(n+1)=[x(n)+a/x(n)]/2
∴x(n)>0
∴由均值不等式知[x(n)+a/x(n)]/2≥√a
即x(n+1)≥√a
∴数列{x(n)}有下界.(1)
又x(n+1)/x(n)=[x(n)+a/x(n)]/[2x(n)]=[1+a/x²(n)]/2
x(n+1)≥√a
∴x(n)≥√a
∴a/x²(n)≤1
∴[1+a/x²(n)]/2≤1
即x(n+1)/x(n)≤1
∴数列{x(n)}单调递减.(2)
综合(1)(2)知{x(n)}收敛
证毕
lim(n→∞)x(n)=lim(n→∞)x(n+1)=A
∴A=(A+a/A)/2
解之得
A=±√a
又x(n)>0
∴A>0
∴A=√a

设a>0,{Xn}满足X0>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn) ,n+1是下标,n=0,1,2...,证明：{Xn} 设数列{xn}满足xn+1=xn/2+1/xn,X0>0,n=0,1,2,3,...证明数列{xn}极限存在并求出其极限设x0=1,x(n+1)=(xn+2)/(xn+1)(n>=0),证明数列{xn}收敛. 设x>0,xn+1=(xn+a/xn)/2,其中a>0,证明lim xn(n趋近于∞）存在,并求之. 证明极限存在X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0) 设﹛Xn﹜满足-1＜X0＜0,Xn+1=Xn∧2+2Xn（n=0,1,2,…）,证明﹛Xn﹜收敛,并求极限已知数列xn满足xn-xn^2=sin(xn-1/n),证明xn的趋向正无穷的极限为0 设数列{ Xn } 满足│Xn+1-Xn│≤k│Xn-Xn-1│,n=2,3,...(0 数列｛Xn｝中,X1>0,a>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn). 设X1>0,xn+1=3(1+xn) / 3+xn (n=1,2…)求lim xn. 证明：若X1=a>0,Xn+1=1/2(Xn+2/Xn),n=1,2,.,则数列{Xn}收敛,并求其极限. 设x1>0,xn+1=3(1+xn)/1+xn,(n=1,2,.)证明极限存在