作业帮大一高数 微分方程问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 05:04:19
大一高数 微分方程问题
已知曲线y=y(x)过点(1,2),且在该曲线上任意点(x,y)处的切线斜率为(6y-x^2)/2x,试求该曲线方程.
已知曲线y=y(x)过点(1,2),且在该曲线上任意点(x,y)处的切线斜率为(6y-x^2)/2x,试求该曲线方程.
∵曲线y=y(x)上任意点(x,y)处的切线斜率为(6y-x²)/2x
∴y'=(6y-x²)/(2x).(1)
∵齐次方程y'=3y/x ==>dy/y=3dx/x
==>ln│y│=3ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>y=Cx³
∴根据常数变易法,设微分方程(1)的解为y=C(x)x³ (C(x)表示关于x的函数)
∵y'=C'(x)x³+3C(x)x²
代入微分方程(1),得C'(x)x³+3C(x)x²=[6C(x)x³-x²]/(2x)
==>C'(x)x³=-x/2
==>C'(x)=-1/(2x²)
==>C(x)=-∫dx/(2x²)=1/(2x)+C (C是积分常数)
∴微分方程(1)的通解是y=C(x)x³=x²/2+Cx³
∵曲线y=y(x)过点(1,2),即当x=1时,y=2
代入通解,得1/2+C=2 ==>C=3/2
∴微分方程(1)满足条件x=1与y=2的特解是y=x²(1+3x)/2
故所求曲线方程是y=x²(1+3x)/2.
∴y'=(6y-x²)/(2x).(1)
∵齐次方程y'=3y/x ==>dy/y=3dx/x
==>ln│y│=3ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>y=Cx³
∴根据常数变易法,设微分方程(1)的解为y=C(x)x³ (C(x)表示关于x的函数)
∵y'=C'(x)x³+3C(x)x²
代入微分方程(1),得C'(x)x³+3C(x)x²=[6C(x)x³-x²]/(2x)
==>C'(x)x³=-x/2
==>C'(x)=-1/(2x²)
==>C(x)=-∫dx/(2x²)=1/(2x)+C (C是积分常数)
∴微分方程(1)的通解是y=C(x)x³=x²/2+Cx³
∵曲线y=y(x)过点(1,2),即当x=1时,y=2
代入通解,得1/2+C=2 ==>C=3/2
∴微分方程(1)满足条件x=1与y=2的特解是y=x²(1+3x)/2
故所求曲线方程是y=x²(1+3x)/2.