等差数列例题,1+（1/1+2）+（1/1+2+3）+.+1/1+2+3.+10=?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/06/03 18:59:48

等差数列例题,
1+（1/1+2）+（1/1+2+3）+.+1/1+2+3.+10=?

考察一般项：
1/(1+2+...+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)]=2[1/n -1/(n+1)]
1+1/(1+2)+...+1/(1+2+3+...+10)
=2(1-1/2+1/2-1/3+...+1/10-1/11)
=2(1-1/11)
=20/11
一般的：
1+1/(1+2)+...+1/(1+2+...+n)
=2[1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]
=2n/(n+1)
再问：每一步能详解吗？
再答：很清楚啊。讲一下吧：如果直接加，会很麻烦，需要考察其特性。一般项为1/(1+2+...+n)，只要找出它和前后项的关系，就可以简化计算。 1/(1+2+...+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)]=2[1/n -1/(n+1)] 这里要用到两个知识点： 1.公式：1+2+...+n=n(n+1)/2 2.1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1) 证明过程： 1/n -1/(n+1)=[(n+1)-n]/[n(n+1)]=1/[n(n+1)] 这个是最基本的变换，一般的，还有：1/[n(n+k)]=(1/k)[1/n -1/(n+k)]，证明过程同上，从略。这个变换很简单，也很容易理解，如果这个学不懂的话，估计学数学就没戏了。剩下的就好办了，逐项消减掉，就剩第1项和最后一项，这个不用说了吧。

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