1、在10x10的方格表中的每个方格写上1,2,3中的一个,能否使每行、每列及两条对角线上的各数之和都互不相等

1、在10x10的方格表中的每个方格写上1,2,3中的一个,能否使每行、每列及两条对角线上的各数之和都互不相等
2、平面上4个点,两两间最大距离为M,最小距离为m,证明M/m≥根号2
3、平面上共有1994个点,其中有1000个红点,其余为蓝点,且任意3点不共线,证明：此平面存在一条直线L,它的两侧各有500个红点及497个蓝点
4、有一个10X10的方格表,在表中任选9个方格涂黑,然后再逐步将凡是与两个或两个以上的黑格相邻的方格涂黑,证明：无论怎样选择最初的9个方格,都不能按这样的方法将所有方格全部涂黑.
原来已经有人问过了啊!
能否将第三题适当简化 
再来一道
5、设8X8的方格表,任意填入64个非负数,允许从表中取一个3X3或4X4的子表,并把子表中9个或16个数都加1,这叫一次操作,问能否经过有限次操作把64个数变成10的倍数
6、见图

PS:楼主你这几十分真不好拿1、同一楼2、1.证：分两种情况讨论：（1）四点的凸包为凸四边形(如图1)A,B,C,D四个角中一定有一角>90（因为A,B,C,D和为360,由抽屉原理就知道了）,不妨设为A,在⊿ABC中a^2>b^2+c^2,不妨设b<c,则a^2>2b^2,a>√2*b,命题成立.（2）四点凸包为三角形.仿上,考虑中间那三个角,三个小三角形中必有一个钝角三角形（如图2）,命题得证.3、先假设这个平面中有一条直线将它们的个数平分,使两边数量相同,即各有997个.设其中一边有N个红子.那么另一边有1000-N个红子.而第一边有997-N个蓝子.“它的两侧各有500个红点”也就是N=1000-N  N=500而蓝子就是997-N=497个也就是说只要将总子数分成两半后,旋转这条直线,使其中一边有500个红子因为“且任意3点都不共线”所以肯定有一条直线可以不交与任何点而平分子.当一边红子有500个,那么这边的蓝子就有497（肯定）,那么另一边也一定有500个红子,497个蓝子.4、涂黑9个方格,然后再逐步将凡是与两个或两个以上的黑格相邻的方格涂黑,这样开始时选择的方格就必须在一个对角线上,这样最多涂黑9*9=81个最后剩下一行一列肯定不能涂黑. 分析 先试验一下,在上图的方格表中选9格涂黑,然后按给定法则涂黑另一些格,直到如图,已无法再将其余的方格涂黑．如果改变最初9格的位置,虽然最后涂黑的部分会不同,但都不能将所有方格全部涂黑．为了证明这一结论,如果将最初95格的不同位置一一列举出来,再逐个证明,当然也是可以的（这种方法叫枚举法）,不过过于繁琐．因此,应该在试验中寻求规律,不被表面现象迷惑．  证明：考虑涂黑过程中黑色区域的周界总长度．设小方格的边长为1,则开始有9个黑格,黑色区域总长度不大于36．按照题设的涂黑法则,每格在涂黑前后,黑色区域的周界不会变长（此方格至少有两边是原来黑色区域的周界,当此格涂黑后,这两边已不再是边界,而另两边可能成为边界）．如果能将所有方格都涂黑,那么黑色边界的总长度应为40,由以上分析,这是不可能的,因此,无论怎样选择最初的9个方格,都不可能按照题设的法则将全部方格涂黑． 5、不可能首先把8*8的方格表中, 第1,2,4,5,7,8六列涂成白色, 第3,6列涂黑. 在8*8方格表中任意填入64个正整数. 记S为所有白色格子中的数字之和. 则每个3*3子方格中, 白色格子必然恰有6个, 而每个4*4子方格中, 白色格子只能是4个或者8个. 所以, 每一次操作只能使S增加4, 或者6, 或者8. 无论如何, 如能使S增加一个偶数. 所以只要使初始时S为奇数, 则不可能经过有限次操作使每一个格子为2的倍数, 更不用说10的倍数. 反例容易给出. 比如第一格填1, 其余全部填0.6、可能为方便把3*3格子按手机键盘编号. 令A=第1,3,7,9格之乘积, B=第2,4,6,8格之乘积, C=第5格(中央). 变动后为A', B', C', 则 A'= B的平方, B'=A的平方*C的四次方, C'=B所以只要变动过>=1次, A, B必变成1; 只要变动过>2次, 则A, B, C都变成1. 令[ij]为第i,j两格之乘积, [ij]'则为变动后的[ij], 则[19]'=[24]*[68]=B[37]'=[26]*[48]=B[28]'=[13]*[79]=A[46]'=[17]*[39]=A. 由此可知, 在3*3格子中任意填写+1,-1, 在经过>=3次变动后, 有如下事实:(i)中央格恒等于1.(ii)关于中央格对称的两格相乘恒等于1, 即[19]=[37]=[28]=[46]=1.现在考虑[17]. 由于[17]'=[24]*[48]=[28]乘以第4格的平方=[28], 因此在>=4次变动后, 必有[17]恒等於1, 也就是第1格与第7格同号. 又由[19]=[37]=1, 可知1,9,3,7四格都同号. 因此在>=5次变动后, 2,4,6,8 四格都恒等于1, 在>=6次变动后, 九个数都变成1了.