一道近世代数证明题设R1,R2都是包含非零元的环,证明:R1⊕R2不是无零因子环这个问题我后来已经想出来了,就不用麻烦大

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 06:08:16

一道近世代数证明题
设R1,R2都是包含非零元的环,证明:R1⊕R2不是无零因子环
这个问题我后来已经想出来了,就不用麻烦大家了.不过下面一个证明题还需要大家帮忙求解,
证明:有限无零因子的非零环是除环?
另外,整环,域,除环之间有什么区别?

首先,该环显然有非零元,因为否则它就是零环了.
其次,对任意非零元素a,用反证法证明a必有逆元.
考虑a和环内每一个元素的乘积：
ab_1,ab_2,...,ab_n.
（n是环的阶）
如果a没有逆元,则这n个积必然没有一个等于1.所以根据抽屉原则,必然存在ab_i=ab_j (i不等于j)
因此得到
a(b_i-b_j)=0
而a和b_i-b_j都不等于0,所以环内有零因子.矛盾.

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