9月29日月考数学21题请教:
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/31 12:35:01
9月29日月考数学21题请教:
请老师帮忙详细解答,非常感谢!
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解题思路: 换元思想,利用导数判断单调性、“存在、任意”问题,分离变量转化为值域的包含关系,利用构造函数、导数、分类讨论的方法来做.
解题过程:
解:(1) 由, 得 显然,f ’(x)>0在R上恒成立, ∴ f(x)在R上是增函数, ∵ -1≤cosx≤1, 而 f(-1)=-5,f(1)=1, ∴ 函数f(cosx)的值域为 [-5,1]; (2) 方程, 等价于 , ∵ f(0)=0, 借助于(1)的方法可知,f(x)在[-1, 0]上的值域为 [-5,0], 进而,f(x)-2 在[-1, 0]上的值域为 , 欲使 对任意的,都存在, 使得, 需且只需 是 函数g(x)在上的值域的子集,……(&) 当时,有 sin, 设 t=sinx, 则 ,求导得 , ① 若 a≤1,则 h’(t)≥0在[0, 1]上恒成立, h(t)在[0, 1]上是增函数, ∴ h(t)在[0,1]上的值域为[h(0),h(1)],即 [-1,e-a-2], 即 g(x)在上的值域是 [-1,e-a-2],不满足(&)的要求; ② 若a≥e,则 h’(t)≤0在[0, 1]上恒成立, h(t)在[0, 1]上是减函数, ∴ h(t)在[0,1]上的值域为[h(1),h(0)],即 [e-a-2,-1], 此时,满足(&)的要求的条件是 e-a-2≤-7(且a≥e), 得 a≥e+5; ③ 若 1<a<e,则 h(t)在[0,lna]、[lna,1]上分别为减函数、增函数, ∴ h(t)在[0, 1]上的最大值是-1, e-a-2中大者,最小值为h(lna)=a-alna-2, 此时,满足(&)的要求的条件是 a-alna-2≤-7, 构造函数, 则, ∴ 是减函数,而其下确界, ∴ h(t)在t∈[0,1]上的值域[a-alna-2,min{-1,e-a-2}],不可能满足(&)的要求, 综上①②③所述,符合要求的a的取值范围是 [e+5,+∞).
解题过程:
解:(1) 由, 得 显然,f ’(x)>0在R上恒成立, ∴ f(x)在R上是增函数, ∵ -1≤cosx≤1, 而 f(-1)=-5,f(1)=1, ∴ 函数f(cosx)的值域为 [-5,1]; (2) 方程, 等价于 , ∵ f(0)=0, 借助于(1)的方法可知,f(x)在[-1, 0]上的值域为 [-5,0], 进而,f(x)-2 在[-1, 0]上的值域为 , 欲使 对任意的,都存在, 使得, 需且只需 是 函数g(x)在上的值域的子集,……(&) 当时,有 sin, 设 t=sinx, 则 ,求导得 , ① 若 a≤1,则 h’(t)≥0在[0, 1]上恒成立, h(t)在[0, 1]上是增函数, ∴ h(t)在[0,1]上的值域为[h(0),h(1)],即 [-1,e-a-2], 即 g(x)在上的值域是 [-1,e-a-2],不满足(&)的要求; ② 若a≥e,则 h’(t)≤0在[0, 1]上恒成立, h(t)在[0, 1]上是减函数, ∴ h(t)在[0,1]上的值域为[h(1),h(0)],即 [e-a-2,-1], 此时,满足(&)的要求的条件是 e-a-2≤-7(且a≥e), 得 a≥e+5; ③ 若 1<a<e,则 h(t)在[0,lna]、[lna,1]上分别为减函数、增函数, ∴ h(t)在[0, 1]上的最大值是-1, e-a-2中大者,最小值为h(lna)=a-alna-2, 此时,满足(&)的要求的条件是 a-alna-2≤-7, 构造函数, 则, ∴ 是减函数,而其下确界, ∴ h(t)在t∈[0,1]上的值域[a-alna-2,min{-1,e-a-2}],不可能满足(&)的要求, 综上①②③所述,符合要求的a的取值范围是 [e+5,+∞).
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