作业帮A秩为r的n阶实对称矩阵证A是半正定矩阵充要条件是存在r行n列的秩为r的实矩阵B,使A=B'B
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 06:29:45
A秩为r的n阶实对称矩阵证A是半正定矩阵充要条件是存在r行n列的秩为r的实矩阵B,使A=B'B
我们一步一步来.
首先对于实数域上的列向量X,有X'X ≥ 0,且等号成立当且仅当X = 0.
由这一点我们可以证明,对实矩阵B,有B'B的秩R(B'B) = B的秩R(B).
方法是考虑两个线性方程组BX = 0与B'BX = 0,证明二者其实是同解的,于是系数矩阵的秩相等.
一方面BX = 0,自然有B'BX = B'(BX) = 0,另一方面B'BX = 0,有(BX)'BX = X'B'BX = 0,也有BX = 0.
有了上面两个结论,我们可以证明原题的充分性.
A是半正定的,因为对任意X,有X'AX = X'B'BX = (BX)'BX ≥ 0.A的秩为r,因为R(A) = R(B'B) = R(B).
必要性,A是秩为r的半正定矩阵,因此存在可逆矩阵P,使标准型C合同变换为A.
即有A = P'CP,而C为对角线上为r个1和n-r个0的对角阵.
我们取D为r×n的矩阵,具有分块形式(E 0),则R(D) = r,且D'D = C,于是A = P'D'DP = (DP)'DP.
取r×n矩阵B = DP,有A = B'B,且由P可逆,R(B) = R(D) = r.B满足条件.
首先对于实数域上的列向量X,有X'X ≥ 0,且等号成立当且仅当X = 0.
由这一点我们可以证明,对实矩阵B,有B'B的秩R(B'B) = B的秩R(B).
方法是考虑两个线性方程组BX = 0与B'BX = 0,证明二者其实是同解的,于是系数矩阵的秩相等.
一方面BX = 0,自然有B'BX = B'(BX) = 0,另一方面B'BX = 0,有(BX)'BX = X'B'BX = 0,也有BX = 0.
有了上面两个结论,我们可以证明原题的充分性.
A是半正定的,因为对任意X,有X'AX = X'B'BX = (BX)'BX ≥ 0.A的秩为r,因为R(A) = R(B'B) = R(B).
必要性,A是秩为r的半正定矩阵,因此存在可逆矩阵P,使标准型C合同变换为A.
即有A = P'CP,而C为对角线上为r个1和n-r个0的对角阵.
我们取D为r×n的矩阵,具有分块形式(E 0),则R(D) = r,且D'D = C,于是A = P'D'DP = (DP)'DP.
取r×n矩阵B = DP,有A = B'B,且由P可逆,R(B) = R(D) = r.B满足条件.
A秩为r的n阶实对称矩阵证A是半正定矩阵充要条件是存在r行n列的秩为r的实矩阵B,使A=B'B
有关正定矩阵的问题设A为n阶对称矩阵,证明:A满秩的充要条件是存在实矩阵B,使AB+B-TA为正定矩阵.
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,证明:BTAB为正定矩阵的充要条件是rankB=n
m阶方阵A正定,B为m×n实矩阵,证明,BTAB正定的充要条件是r(b)＝n
设A是m*n矩阵,r(A)=r,证明：存在秩为n-r的n阶矩阵B,使AB=0
设A为m*n矩阵,求证存在一个n阶矩阵B≠0,使AB=0的充要条件是r(A)
关于正定矩阵的 急设A为n阶实对称矩阵 证明 B=I+A的平方 为正定矩阵设A为n阶正定矩阵,AB为是对称矩阵,则AB为
设A是m×n矩阵,R（A）=r,证明存在秩为r的m×n矩阵B与秩为r的r×n矩阵C,使A=BC
B为m阶对称正定阵,P是秩为r的m*r型矩阵,P^TBP=A,证明:证明:A是对称正定阵.
设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R（B）=n,证明B'AB也是正定矩阵
设A为m阶正定阵,B为m*n阶矩阵,证明：B^tAB为正定阵的充要条件为R（B）=n
问个线性代数题设A是m×n矩阵,R（A）＝r,证明存在秩为r的m×r矩阵B与秩为r的r×n矩阵C使A＝BC